《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

9. (数学思想·数形结合)如图，已知$A(-4,\frac{1}{2})$，$B(-1,2)$是一次函数$y = kx + b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m\neq0,m＜0)$图象的两个交点，$AC\perp x$轴于点$C$，$BD\perp y$轴于点$D$.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当$x$取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
(2)求一次函数的解析式及$m$的值；
(3)$P$是线段$AB$上的一点，连接$PC$，$PD$，若$\triangle PCA$和$\triangle PDB$的面积相等，求点$P$的坐标.

答案： 解：
(1)当$-4\lt x\lt - 1$时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(2)一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，$m = - 2$；
(3)设点$P$的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+\frac{5}{2})$.
$\because\triangle PCA$和$\triangle PDB$的面积相等，
$\therefore\frac{1}{2}\times1\times(t + 4)=\frac{1}{2}\times1\times(2-\frac{1}{2}t-\frac{5}{2})$，解得$t=-\frac{5}{2}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{5}{4})$.

1. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{b}{x}(b\neq0)$与二次函数$y = ax^2 + bx(a\neq0)$的图象大致是（ ）

答案： D