《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

19. (8分)如图，AB//DE，AC//DF，点B，E，C，F在同一条直线上. 求证：△ABC∽△DEF.

答案： 证明：
∵AB//DE，AC//DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴△ABC∽△DEF.

20. (8分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°.
求证：△ADC∽△DEB.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠CAD+∠ACB=∠CAB=60°.
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°，
∴∠CAD=∠BDE，
∴△ADC∽△DEB.

21. (8分)如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EF//BC，FG//CD，四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论.

答案： 解：四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似. 证明如下：
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$.
同理证△AGF∽△ADC，得$\frac{AG}{AD}=\frac{GF}{DC}=\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{AG}{AD}=\frac{GE}{DC}$，
∴四边形AEFG∽矩形ABCD.

22. (8分)如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在AC边上截取AD=BC，连接BD.
(1) 通过计算，判断$AD^2$与AC·CD的大小关系；
(2) 求证：△BCD∽△ACB.

答案：
(1)解：
∵AD=BC，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴CD=AC - AD=1 - $\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
∴AD²=$\frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{4}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，AC·CD=1×$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
∴AD²=AC·CD；
(2)证明：
∵AD=BC，AD²=AC·CD，
∴BC²=AC·CD，即$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$.
又
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB.