《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

21. (11分)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y_{1}=ax + b(a,b$为常数，且$a \neq 0)$与反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}(m$为常数，且$m \neq 0)$的图象交于点$A(-2,1)$，$B(1,n)$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接$OA$，$OB$，求$\triangle AOB$的面积；
(3)直接写出当$y_{1} \lt y_{2} \lt 0$时，自变量$x$的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵点A(-2,1)在反比例函数图象上,
∴将点A的坐标代入反比例函数解析式y₂=$\frac{m}{x}$,得m=-2,
∴反比例函数的解析式为y₂=-$\frac{2}{x}$;
将B(1,n)代入y₂=-$\frac{2}{x}$,得n=-2,
∴B(1,-2).
将A,B两点的坐标分别代入一次函数解析式y₁=ax+b,得
$\begin{cases}-2a + b = 1\\a + b = -2\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = -1\\b = -1\end{cases}$,
∴一次函数的解析式为y₁=-x - 1;
(2)设直线AB与y轴交于点C,令x=0,得y₁=-1,
∴C(0,-1),
∴S_{△AOB}=S_{△AOC}+S_{△COB}=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{3}{2}$;
(3)由图象可得:当y₁＜y₂＜0时,自变量x的取值范围是x＞1.

22. (11分)如图，一次函数$y = kx + b(k \lt 0)$的图象经过点$C(3,0)$，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象与该一次函数的图象交于第二、四象限内的$A$，$B$两点，且$AC = 2BC$，求$m$的值.

答案： 解:
(1)
∵一次函数y=kx+b(k＜0)的图象经过点C(3,0),
∴3k + b = 0①,点C到y轴的距离是3.
由图,易得b＞0.
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是(0,b),
∴$\frac{1}{2}$×3×b=3,解得b=2.
把b=2代入①,解得k=-$\frac{2}{3}$,故一次函数的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x + 2;
(2)过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,则AD//BE.
∵AD//BE,
∴△ACD∽△BCE,
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$=2,
∴AD=2BE.
设点B的纵坐标为-n,则点A的纵坐标为2n.
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x + 2,
∴A(3 - 3n,2n),B(3 + $\frac{3}{2}$n,-n).
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过A,B两点,
∴(3 - 3n)·2n=(3 + $\frac{3}{2}$n)·(-n),解得n₁=2,n₂=0(不符合题意,舍去),
∴m=(3 - 3n)·2n=-3×4=-12.