《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

13. 如图，点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$P_{4}$均在坐标轴上，且$P_{1}P_{2} \perp P_{2}P_{3}$，$P_{2}P_{3} \perp P_{3}P_{4}$. 若点$P_{1}$，$P_{2}$的坐标分别为$(0,-1)$，$(-2,0)$，则点$P_{4}$的坐标为________.

答案： (8,0)

14. 若点$A(-3,y_{1})$，$B(-2,y_{2})$，$C(1,y_{3})$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \lt 0)$的图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是________.

答案： y₃＜y₁＜y₂

15. 如图，点$E$，$F$在函数$y=\frac{k}{x}(x \gt 0)$的图象上，直线$EF$分别与$x$轴，$y$轴交于点$A$，$B$，且$BE:BF = 1:m$. 过点$E$作$EP \perp y$轴于点$P$，已知$\triangle OEP$的面积为1，则$k$的值是________，$\triangle OEF$的面积是________(用含$m$的式子表示).

答案： 2 $\frac{m^{2}-1}{m}$

16. (6分)已知正比例函数$y = kx$与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象都过点$A(m,1)$.
(1)求正比例函数的解析式；
(2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标.

答案： 解:
(1)把x=m,y=1代入y=$\frac{3}{x}$,得$\frac{3}{m}$=1,
∴m=3,
∴A(3,1).
把x=3,y=1代入y=kx,得3k=1,
∴k=$\frac{1}{3}$,
∴y=$\frac{1}{3}$x;
(2)联立方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{3}x\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$,解得$\begin{cases}x_{1}=3\\y_{1}=1\end{cases}$,$\begin{cases}x_{2}=-3\\y_{2}=-1\end{cases}$,
故正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标为(-3,-1).

17. (8分)如图，已知$EC // AB$，$\angle EDA = \angle ABF$.
(1)求证：四边形$ABCD$是平行四边形；
(2)求证：$OA^{2}=OE\cdot OF$.

答案： 证明:
(1)
∵EC//AB,
∴∠EDA=∠DAB.
又
∵∠EDA=∠ABF,
∴∠DAB=∠ABF,
∴AD//BC.
又
∵DC//AB,
∴四边形ABCD为平行四边形;
(2)
∵EC//AB,
∴△OAB∽△OED,
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$.
∵AD//BC,
∴△OBF∽△ODA,
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}$,
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OF}{OA}$,
∴OA²=OE·OF.