《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

21. (10分)(核心素养·应用意识)如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由$45^{\circ}$降为$30^{\circ}$. 已知原滑滑板$AB$的长为5米，点$D$，$B$，$C$在同一水平地面上. 求改善后滑滑板会加长多少？(精确到0.01. 参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{6}\approx2.449$)

答案： 改善后滑板会加长约$2.07$米.

22. (12分)海上有一小岛，为了测量小岛两端$A$，$B$的距离，测量人员设计了一种测量方法. 如图所示，已知点$B$是$CD$的中点，$E$是$BA$延长线上的一点，测得$AE = 8.3$海里，$DE = 30$海里，且$DE\perp EC$，$\cos D=\frac{3}{5}$.
(1)求小岛两端$A$，$B$的距离；
(2)过点$C$作$CF\perp AB$交$AB$的延长线于点$F$，求$\sin\angle BCF$的值.

答案： 解：
(1)在$Rt\triangle CED$中，$\angle CED = 90^{\circ}$，$DE = 30$海里.
$\because \cos D=\frac{DE}{CD}=\frac{3}{5}$，$\therefore CD = 50$海里，
$\therefore CE=\sqrt{CD^{2}-DE^{2}}=40$(海里).
$\because$点$B$是$CD$的中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}CD = 25$海里，
$\therefore AB = BE - AE = 25 - 8.3 = 16.7$(海里).
答：小岛两端$A$，$B$的距离为$16.7$海里；
(2)设$BF = x$海里.
在$Rt\triangle CFB$中，$\angle CFB = 90^{\circ}$，
$\therefore CF^{2}=CB^{2}-BF^{2}=25^{2}-x^{2}=625 - x^{2}$.
在$Rt\triangle CFE$中，$\angle CFE = 90^{\circ}$，
$\therefore CF^{2}+EF^{2}=CE^{2}$，即$625 - x^{2}+(25 + x)^{2}=1600$，解得$x = 7$，
$\therefore \sin\angle BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{7}{25}$.