《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

21. (12分)如图，在$8\times8$的正方形网格中，$\triangle CAB$和$\triangle DEF$的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，$AC$与网格上的直线相交于点$M$.
(1)填空：$AC=$________，$AB=$________；
(2)求$\angle ACB$的值和$\tan\angle 1$的值；
(3)判断$\triangle CAB$和$\triangle DEF$是否相似，并说明理由.
　

答案： 解:
(1)由勾股定理,得$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$,$AB=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$;
(2)由勾股定理,得$BC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$.
又由
(1),知$AC = 2\sqrt{5}$,$AB = 2\sqrt{10}$,
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=40$,$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle CMB$中,$CM=\sqrt{5}$,$\therefore\tan\angle1=\frac{CM}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$.
综上所述,$\angle ACB$的值是$90^{\circ}$,$\tan\angle1$的值是$\frac{1}{2}$;
(3)$\triangle CAB$和$\triangle DEF$相似.理由如下:
$\because DE = DF=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$,$EF=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,
$\therefore\frac{AC}{ED}=\frac{BC}{FD}=\frac{AB}{EF}=2$,$\therefore\triangle CAB\sim\triangle DEF$.

22. (10分)随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场$B,C$两点之间的距离. 如图所示，小星站在广场的$B$处遥控无人机，无人机在$A$处距离地面的飞行高度是41.6 m，此时从无人机测得广场$C$处的俯角为$63^{\circ}$，他抬头仰视无人机时，仰角为$\alpha$，若小星的身高$BE = 1.6\ m$，$EA = 50\ m$(点$A,E,B,C$在同一平面内).
(1)求仰角$\alpha$的正弦值；
(2)求$B,C$两点之间的距离(结果精确到1 m).
($\sin 63^{\circ}\approx0.89$，$\cos 63^{\circ}\approx0.45$，$\tan 63^{\circ}\approx1.96$，$\sin 27^{\circ}\approx0.45$，$\cos 27^{\circ}\approx0.89$，$\tan 27^{\circ}\approx0.51$)
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)如图,过点A作$AD\perp BC$于点D,过点E作$EF\perp AD$于点F.

$\because\angle EBD=\angle FDB=\angle DFE = 90^{\circ}$,$\therefore$四边形BDFE为矩形,
$\therefore EF = BD$,$DF = BE = 1.6$m,
$\therefore AF = AD - DF = 41.6 - 1.6 = 40$(m).
在$Rt\triangle AEF$中,$\sin\angle AEF=\frac{AF}{AE}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}$,即$\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
答:仰角α的正弦值为$\frac{4}{5}$;
(2)在$Rt\triangle AEF$中,$EF=\sqrt{AE^{2}-AF^{2}}=\sqrt{50^{2}-40^{2}}=30$(m).
在$Rt\triangle ACD$中,$\angle ACD = 63^{\circ}$,$AD = 41.6$.
$\because\tan\angle ACD=\frac{AD}{CD}$,$\therefore CD=\frac{41.6}{\tan63^{\circ}}=\frac{41.6}{1.96}\approx21.22$(m),
$\therefore BC = BD + CD = 30 + 21.22\approx51$(m).
答:B,C两点之间的距离约为51 m.