《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

25. (12分)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，设旋转的角度是β.
(1) 如图2，当β=______(用含α的代数式表示)时，点B'恰好落在CA的延长线上；
(2) 如图3，连接BB'，CC'，CC'的延长线交斜边AB于点E，交BB'于点F. 请写出图中两对相似三角形(不含全等三角形)，并选一对证明.

答案： 解：
(1)
∵∠ABC=α，
∴β=∠C+∠ABC=90°+α；
(2)图中两对相似三角形：①△ABB'∽△ACC'，②△ACE∽△FBE.
证明①：
∵△ABC绕点A顺时针旋转β得到△AB'C'，
∴∠CAC'=∠BAB'=β，AC=AC'，AB=AB'，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AC'}{AB'}$，
∴△ABB'∽△ACC'；
证明②：
∵△ABC绕点A顺时针旋转β得到△AB'C'，
∴∠CAC'=∠BAB'=β，AC=AC'，AB=AB'，
∴∠ACC'=∠ABB'=$\frac{180° - β}{2}$.
又
∵∠AEC=∠BEF，
∴△ACE∽△FBE.