《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

23. (12分)如图，某巡逻艇计划以40海里/时的速度从$A$处向正东方向的$D$处航行，出发1.5小时到达$B$处时，突然接到$C$处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60海里/时的速度向北偏东$30^{\circ}$方向的$C$处航行，到达$C$处后，测得$A$处位于$C$处的南偏西$60^{\circ}$方向，解救后巡逻艇又沿南偏东$45^{\circ}$方向航行到$D$处.
(1)求巡逻艇从$B$处到$C$处用的时间；
(2)求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里.(结果精确到1海里. 参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{6}\approx2.45$)
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)如图所示.

由题意,得$AB = 1.5\times40 = 60$(海里).
$\because BE// CF$,$\therefore\angle BCF=\angle EBC = 30^{\circ}$.
在$Rt\triangle AFC$中,$\because\angle ACF = 60^{\circ}$,$\therefore\angle A = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
设$BF = x$海里,则$BC = 2x$海里,$CF=\sqrt{3}x$海里,$\tan A=\frac{BE}{AB}$,
$\therefore BE=\tan30^{\circ}\cdot AB=\frac{\sqrt{3}}{3}\times60 = 20\sqrt{3}$(海里).
$\because BE// CF$,$\therefore\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{AF}$,$\therefore20\sqrt{3}(60 + x)=60\times\sqrt{3}x$,解得$x = 30$,
$\therefore BC = 2x = 60$(海里),$t=\frac{60}{60}=1$(时).
答:巡逻艇从B处到C处用的时间为1时;
(2)$\because\angle FCD = 45^{\circ}$,$\angle CFD = 90^{\circ}$,
$\therefore\triangle CFD$是等腰直角三角形,
$\therefore FC = FD=\sqrt{3}x = 30\sqrt{3}$(海里),
$\therefore CD=\sqrt{2}FC = 30\sqrt{6}$(海里),
$\therefore AB + BC + CD-(AB + BF + FD)=BC + CD - BF - FD = 60 + 30\sqrt{6}-30 - 30\sqrt{3}=30 + 30\sqrt{6}-30\sqrt{3}\approx30\times(1 + 2.45 - 1.73)\approx52$(海里).
答:巡逻艇实际比原计划多航行了约52海里.