《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

23. (10分)如图，直线$l_1$，$l_2$，$l_3$分别交直线$l_4$于点A，B，C，交直线$l_5$于点D，E，F，且$l_1// l_2// l_3$. 已知EF：DF=5：8，AC=24.
(1) 求AB的长；
(2) 当AD=4，BE=1时，求CF的长.

答案： 解：
(1)
∵l₁//l₂//l₃，EF：DF=5：8，AC=24，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{8}$，
∴$\frac{BC}{24}=\frac{5}{8}$，
∴BC=15，
∴AB=AC - BC=24 - 15=9；
(2)
∵l₁//l₂//l₃，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{OB}{OB + 9}=\frac{1}{4}$，
∴OB=3，
∴OC=BC - OB=15 - 3=12，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{BE}{CF}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{CF}=\frac{1}{4}$，
∴CF=4.

24. (12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6 cm，OB=8 cm. 点P从点B开始沿BA边向终点A以1 cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1 cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. 若P，Q同时出发，运动时间为t s，当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

答案： 解：
∵OA=6 cm，OB=8 cm，
∴AB=$\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$(cm).
∵点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是1 cm/s，
∴AQ=t cm，AP=(10 - t)cm.
①当∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{AB}{AB}$，即$\frac{10 - t}{6}=\frac{10}{10}$，解得t=$\frac{25}{4}$＞6，舍去；
②当∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴$\frac{AQ}{AO}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{t}{6}=\frac{10 - t}{10}$，解得t=$\frac{15}{4}$.
综上，当t=$\frac{15}{4}$时，△APQ与△AOB相似.