《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

18.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线$y = kx + b(k\neq0)$与双曲线$y=\frac{8}{x}$的一个交点为P(2,m)，与x轴、y轴分别交于点A，B.
(1)求m的值；
(2)若$PA = 2AB$，求k的值.

答案：
解:
(1)
∵y=$\frac{8}{x}$经过P(2,m)),
∴2m=8,解得m=4;;
(2)点P(2,4)在y=kx+b上,
∴4=2k+b,
∴b=4−2k,
∴y=kx+4−2k.
　
∵直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴分别交于点A,B,
　
∴A(2−$\frac{4}{k}$,0）,B(0,4-2k).如图，过点P作PC⊥X轴于点C
　　　　　
　
∵PA=2A　　AB=PB,则OA=OC,
∴$\frac{4}{k}$−2=2,解得k=1

19.(10分)如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD. 设BC的长为x米，AB的长为y米.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)延长BC到E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加了16平方米，求BC的长.

答案：
解:
(1)由矩形面积公式,可知AB.BC=24,即xy=24,
　
∴y与x之间的函数解析式为y=$\frac{24}{x}$(x＞0);
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)由题意,得CE=BC−1=(x−1)米,DC=AB=y米=$\frac{24}{x}$
　
∵矩形CEFD的面积为16平方米，
　
∴$\frac{24}{x}$.(x−1)=16,即24−$\frac{24}{x}$=16,解得x=3.
　　　经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，
∴BC的长为3米

20.(10分)如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(6,8)，顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过顶点B.
(1)求点A和点B的坐标；
(2)求k的值及直线AB对应的函数解析式.
　

答案：
解:
(1)
∵点C的坐标为(6,8),
∴CO=10.
　
∵四边形OABC是菱形，
∴A(10,0),B(16,8);
(2)将点B(16,8)代入y=$\frac{k}{x}$,得k=128
　　　设直线AB的解析式为y=mx+n,
　　　
∴直线AB对应的函数解析式为y=$\frac{4}{3}$x−$\frac{40}{3}$.