《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

7. 如图，在矩形$OABC$中，$OA = 3$，$OC = 2$，$F$是$AB$上的一个动点（$F$不与点$A$，$B$重合），过点$F$的反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与$BC$边交于点$E$.
(1)当$F$为$AB$的中点时，求该函数的解析式；
(2)当$k$为何值时，$\triangle EFA$的面积最大，最大面积是多少？

答案： 解：
(1)该函数的解析式为$y=\frac{3}{x}(x\gt0)$；
(2)由题意，设$E$，$F$两点的坐标分别为$E(\frac{k}{2},2)$，$F(3,\frac{k}{3})$，
$\therefore S_{\triangle EFA}=\frac{1}{2}AF\cdot BE=\frac{1}{2}\times\frac{k}{3}(3 - \frac{k}{2})=\frac{k}{2}-\frac{k^{2}}{12}=-\frac{1}{12}(k^{2}-6k + 9 - 9)=-\frac{1}{12}(k - 3)^{2}+\frac{3}{4}$，
$\therefore$当$k = 3$时，$S$有最大值，$S_{最大值}=\frac{3}{4}$.

1. 如图，点$A(1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上.
(1)求$k$的值；
(2)在$y$轴上取点$B(0,1)$，问双曲线上是否存在点$D$，使得以$AB$，$AD$为邻边的平行四边形$ABCD$的顶点$C$在$x$轴的负半轴上？若存在，求出点$D$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1) $\because$点$A(1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$在双曲线$y=\frac{k}{x}(x\lt0)$上，
$\therefore k=(1 - \sqrt{5})(1+\sqrt{5})=1 - 5 = - 4$；
(2)存在. 理由如下：
过点$A$作$AE\perp y$轴于点$E$，过点$D$作$DF\perp x$轴于点$F$.
$\because$四边形$ABCD$是以$AB$，$AD$为邻边的平行四边形，$\therefore DC\equalparallel AB$.
$\because A(1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$，$B(0,1)$，$\therefore BE=\sqrt{5}$.
由平行四边形的性质及图象，易得$DF = BE=\sqrt{5}$，
$\therefore\sqrt{5}=\frac{-4}{x}$，解得$x=-\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\therefore$点$D$的坐标为$(-\frac{4\sqrt{5}}{5},\sqrt{5})$.