《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

24.(10分)请你在反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上任意找一点A，过点A分别作 $AE\perp x$ 轴，$AF\perp y$ 轴.
(1) 矩形 $AEOF$ 的面积是多少？
(2) 再找一点B，过点B分别作 $BG\perp x$ 轴，$BH\perp y$ 轴，则矩形 $BGO H$ 的面积是多少？
(3) 你发现什么规律？

答案： 解：
(1)设 $A(a,b)$.
$\because$点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上，$\therefore ab = 6$，
$\therefore$矩形 $AEOF$ 的面积 $S_1 = ab = 6$;
(2)设 $B(c,d)$.
$\because$点 $B$ 在反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上，$\therefore cd = 6$，
$\therefore$矩形 $BGO H$ 的面积 $S_2 = cd = 6$;
(3)由
(1)
(2)的计算过程可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积大小均等于 $k$ 的值.

25.(12分)如图，已知直线 $y = x + b$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象于点C.
(1) 求直线AB和反比例函数图象的解析式；
(2) 求 $\triangle ABC$ 的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)$\because$直线 $y = x + b$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x\gt0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$，
$\therefore k = 2\times3 = 6$，$2 + b = 3$，即 $b = 1$，
$\therefore$直线 $AB$ 的解析式为 $y = x + 1$，反比例函数的解析式为 $y=\frac{6}{x}$;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)$\because$直线 $y = x + 1$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $B$，
$\therefore$当 $x = 0$ 时，$y = 1$，$\therefore B(0,1)$.
$\because BC// x$ 轴，直线 $BC$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x\gt0)$ 的图象交于点 $C$，
$\therefore$点 $C$ 的纵坐标为 1，$\therefore\frac{6}{x}=1$，即 $x = 6$，$\therefore C(6,1)$，$\therefore BC = 6$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times6 = 6$.