《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

18.(10分)甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼AB高16米. 当地中午12时，物高与影长的比是1：√2.
(1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为________米.
(2)当地下午14时，物高与影长的比是1：2. 如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)由题意，得$\frac{AB}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\frac{16}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$BD = 16\sqrt{2}(m)$；
(2)如图，作$EF\perp AB$于点$F$.
在$Rt\triangle AEF$中，$\angle AFE = 90^{\circ}$，$EF = BD = 16\sqrt{2}(m)$.
$\because$物高与影长的比是$1:2$，$\therefore\frac{AF}{EF}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\times16\sqrt{2}=8\sqrt{2}(m)$，
$\therefore DE = BF = AB - AF=(16 - 8\sqrt{2})m$，
即落在乙楼上的影子$DE$的长为$(16 - 8\sqrt{2})$米.

19.(10分)(核心素养·空间观念)如图，长方体的底面是边长为1 cm的正方形，高为3 cm.
(1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少厘米；
(2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要多少厘米？
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)将长方体展开，根据两点之间线段最短，连接$AB$，$AB=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5(cm)$；

(2)如果从点$A$开始经过$4$个侧面缠绕$2$圈到达点$B$，相当于直角三角形的两条直角边分别是$8$和$3$，根据勾股定理，可知所用细线最短需要$\sqrt{8^{2}+3^{2}}=\sqrt{73}(cm)$.