《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

21.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=8，AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，求AE的长.

答案：
(1)证明: $\because AD// BC$, $\therefore\angle ADF=\angle DEC$.
$\because\angle AFE=\angle B$, $\therefore\angle AFD=\angle C$, $\therefore\triangle ADF\sim\triangle DEC$;
(2) $AE = 6$.

22.(12分)(大单元)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点，F是CD上的点，连接AE，EF，AC.
(1)求证：AO·OF=OC·OE；
(2)若点F是DC的中点，连接BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形.

答案： 证明:
(1) $\because BD = 2AD$, 点 $E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore CE = AD$.
$\because AD// BC$, $\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形, $\therefore AE// CD$,
$\therefore\triangle CFO\sim\triangle AEO$, $\therefore\frac{CO}{AO}=\frac{OF}{OE}$, $\therefore AO\cdot OF = OC\cdot OE$;
(2) $\because$ 点 $E$ 是 $BC$ 的中点, 点 $F$ 是 $DC$ 的中点, $\therefore EF// BD$.
由
(1), 知 $AE// CD$, $\therefore$ 四边形 $EFDG$ 是平行四边形.
$\because AD// BC$, $\therefore\triangle ADG\sim\triangle EBG$, $\therefore\frac{DG}{BG}=\frac{AG}{EG}=\frac{AD}{BE}$.
$\because AD = BE=\frac{1}{2}BC$, $\therefore AG = EG$, $DG = BG$.
$\because\angle ABC = 90^{\circ}$, $\therefore BG = GE=\frac{1}{2}AE$,
$\therefore GE = DG$, $\therefore$ 四边形 $EFDG$ 是菱形.