《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

22.(12分)如图，某施工队要测量隧道长度BC. 已知AD = 600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE//AC，DE = 500米，测得仰角为53°，求隧道BC的长. ($\sin 53^{\circ}\approx\frac{4}{5},\cos 53^{\circ}\approx\frac{3}{5},\tan 53^{\circ}\approx\frac{4}{3}$)

答案：
解：如图，过点E作$EH\perp AB$于点H，则$EH// AD$.

又$\because DE// AC$，$\therefore$四边形ADEH为矩形，$\angle ACE = \angle CEF = 53^{\circ}$，
$\therefore AH = DE = 500$米，$HE = AD = 600$米.
又$\because \angle ADB = 45^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABD$为等腰直角三角形，$\therefore AB = AD = 600$米.
在$Rt\triangle CHE$中，$\tan 53^{\circ} = \frac{HE}{CH}$，即$\frac{4}{3}\approx\frac{600}{CH}$，解得$CH = 450$，
$\therefore BC = CH + AH - AB = 450 + 500 - 600 = 350$（米），
即隧道BC的长为350米.

23.(13分)如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观. 在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC = 60°，∠DBC = 75°. 又已知AB = 100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米.(精确到1米. 参考数据：tan 60°≈1.73，tan 75°≈3.73)

答案： 解：过点D作$DE\perp AC$于点E.
在$Rt\triangle EAD$中，$\angle DAE = 60^{\circ}$，$\therefore \tan 60^{\circ} = \frac{ED}{AE}$，$\therefore AE = \frac{ED}{\tan 60^{\circ}}$.
同理，在$Rt\triangle EBD$中，得到$EB = \frac{ED}{\tan 75^{\circ}}$.
又$\because AB = 100$米，$\therefore AE - EB = 100$米，即$\frac{ED}{\tan 60^{\circ}} - \frac{ED}{\tan 75^{\circ}} = 100$，
则$ED = \frac{100\times\tan 60^{\circ}\times\tan 75^{\circ}}{\tan 75^{\circ} - \tan 60^{\circ}}\approx\frac{100\times 1.73\times 3.73}{3.73 - 1.73}\approx 323$（米）.
答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米.