《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

18. (10分)如图，点$C,D$在线段$BE$上，$\triangle ACD$是等边三角形，且$\triangle ACB\sim\triangle EDA$.
(1)若$BC = 9$，$AD = 6$，求$BE$的长；
(2)求$\angle BAE$的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)$\because\triangle ACB\sim\triangle EDA$,$\therefore\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{AD}$.
$\because\triangle ACD$是等边三角形,$\therefore AC = AD = CD = 6$,
$\therefore\frac{6}{ED}=\frac{9}{6}$,$\therefore DE = 4$,$\therefore BE = BC + CD + DE = 9 + 6 + 4 = 19$;
(2)$\because\triangle ACD$是等边三角形,$\therefore\angle ACD = 60^{\circ}$.
$\because\triangle ACB\sim\triangle EDA$,$\therefore\angle BAC=\angle E$.
$\because\angle B+\angle BAC=\angle ACD = 60^{\circ}$,$\therefore\angle B+\angle E = 60^{\circ}$,
$\therefore\angle BAE = 180^{\circ}-(\angle B+\angle E)=120^{\circ}$.

19. (9分)如图，$F$为平行四边形$ABCD$的边$AD$的延长线上的一点，$BF$分别交$CD,AC$于点$G,E$. 若$EF = 32$，$GE = 8$，求$BE$的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:设$BE = x$.
$\because EF = 32$,$GE = 8$,$\therefore FG = 32 - 8 = 24$.
$\because AD// BC$,$\therefore\triangle AFE\sim\triangle CBE$,$\therefore\frac{EF}{EB}=\frac{AF}{CB}$.
$\because AD = CB$,$\therefore\frac{32}{x}=\frac{DF + AD}{CB}=\frac{DF}{CB}+1$①.
$\because DG// AB$,$\therefore\frac{DF}{AD}=\frac{FG}{GB}$,$\therefore\frac{DF}{CB}=\frac{24}{8 + x}$,代入①,得$\frac{32}{x}=\frac{24}{8 + x}+1$,
解得$x=\pm16$(负数舍去),$\therefore BE = 16$.

20. (10分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是关于点$O$为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点$O$；
(2)求出$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的位似比；
(3)以点$O$为位似中心，再画一个$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，使它与$\triangle ABC$的位似比等于1.5.
　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)位似中心点O如图所示:

(2)$\because OA = 6$,$OA' = 12$,$\therefore$位似比为1:2;
(3)$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$如图所示.