《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

19.(12分)如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE=∠B-∠A.
(1)求证：△CDE∽△ACB；
(2)若DA=$\sqrt{6}$，EA=1时，求CE的长.

答案：
(1)证明: $\because CD$ 是直角 $\triangle ABC$ 斜边上的中线,
$\therefore DC = DA = DB$, $\therefore\angle DCE=\angle A$.
在 $\triangle ADE$ 中, $\angle DEC=\angle A+\angle ADE$.
又 $\because\angle ADE=\angle B-\angle A$, 即 $\angle B=\angle A+\angle ADE$,
$\therefore\angle DEC=\angle B$, $\therefore\triangle CDE\sim\triangle ACB$;
(2)解: $\because CD$ 是直角 $\triangle ABC$ 斜边上的中线,
$\therefore DC = DA = DB=\sqrt{6}$, $\therefore AB = 2\sqrt{6}$.
$\because EA = 1$, $\therefore AC = AE + CE = 1 + CE$.
$\because\triangle CDE\sim\triangle ACB$,
$\therefore\frac{CE}{AB}=\frac{DC}{AC}$, 即 $\frac{CE}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{1 + CE}$, 解得 $CE = 3$ 或 $CE = - 4$(舍去), $\therefore CE$ 的长为 3.

20.(12分)如图，A，E，B三点共线，且∠A=∠CED=∠B.
(1)若AC=5，BD=2，AB=2$\sqrt{10}$，求证：E是AB的中点；
(2)若CE平分∠ACD，求证：DE是CD，BD的比例中项.

答案： 证明:
(1) $\because\angle CEB=\angle A+\angle ACE=\angle CED+\angle BED$, $\angle A=\angle CED=\angle B$,
$\therefore\angle ACE=\angle BED$, $\therefore\triangle ACE\sim\triangle BED$, $\therefore\frac{AC}{BE}=\frac{AE}{BD}$.
$\because AC = 5$, $BD = 2$, $BE = AB - AE = 2\sqrt{10}-AE$,
$\therefore\frac{5}{2\sqrt{10}-AE}=\frac{AE}{2}$, 解得 $AE=\sqrt{10}$,
$\therefore BE = AB - AE = 2\sqrt{10}-\sqrt{10}=\sqrt{10}$, $\therefore AE = BE$, $\therefore E$ 是 $AB$ 的中点;
(2) $\because CE$ 平分 $\angle ACD$, $\therefore\angle ACE=\angle ECD$.
又 $\because\angle ACE=\angle BED$, $\therefore\angle ECD=\angle BED$.
又 $\because\angle CED=\angle B$, $\therefore\triangle ECD\sim\triangle BED$, $\therefore\frac{DE}{DB}=\frac{CD}{ED}$,
$\therefore DE^{2}=CD\cdot DB$, $\therefore DE$ 是 $CD$, $BD$ 的比例中项.