《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

19.(8分)已知△ABC的三边长分别为5，12，13，和△ABC相似的△A₁B₁C₁的最大边为26，求△A₁B₁C₁另两条边的边长和周长以及最大角的度数.

答案： 解：
∵$A_1B_1C_1$的最大边长为26，$\triangle ABC$的最大边长为13，$\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$，
∴边长的比值为$\frac{1}{2}$，即相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\triangle A_1B_1C_1$另两条边的边长分别为10和24.
又
∵$\triangle ABC$的周长为5 + 12 + 13 = 30，
∴$\triangle A_1B_1C_1$的周长为60.
∵$5^2 + 12^2 = 13^2$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形，
∴$\triangle A_1B_1C_1$中最大角的度数为90°.

20.(8分)如图，在△ABC中，AB = 8，BC = 4，CA = 6，CD//AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长.

答案： 解：
∵BD为$\angle ABC$的平分线，
∴$\angle ABD = \angle CBD$.
∵$AB// CD$，
∴$\angle D = \angle ABD$，
∴$\angle D = \angle CBD$，
∴$BC = CD$.
∵$BC = 4$，
∴$CD = 4$.
∵$AB// CD$，
∴$\triangle ABE\sim\triangle CDE$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{8}{4}=\frac{AE}{CE}$，
∴$AE = 2CE$.
又
∵$AC = 6 = AE + CE$，
∴$AE = 4$.

21.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE = AB，连接DE，分别交BC，AC于点F，G.
(1)求证：BF = CF；
(2)若BC = 6，DG = 4，求FG的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$\triangle EBF\sim\triangle EAD$，
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{EB}{EA}=\frac{1}{2}$，
∴$BF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$，
∴$BF = CF$；
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$\triangle FGC\sim\triangle DGA$，
∴$\frac{FG}{DG}=\frac{FC}{DA}$，即$\frac{FG}{4}=\frac{1}{2}$，解得$FG = 2$.