《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

23. (12分)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的顶点$A$在$x$轴负半轴上，顶点$C$在$x$轴正半轴上，顶点$B$在第一象限，过点$B$作$BD \perp y$轴于点$D$，线段$OA$，$OC$的长是一元二次方程$x^{2}-12x + 36 = 0$的两根，$BC = 4\sqrt{5}$，$\angle BAC = 45^{\circ}$.
(1)求点$A$，$C$的坐标；
(2)若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$B$，求$k$的值；
(3)在$y$轴上是否存在点$P$，使以$P$，$B$，$D$为顶点的三角形与以$P$，$O$，$A$为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点$P$的个数，并直接写出其中两个点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1)解一元二次方程x² - 12x + 36 = 0,得x₁=x₂=6,
∴OA=OC=6,
∴A(-6,0),C(6,0);
(2)如图1,过点B作BE⊥AC,垂足为点E.
∵∠BAC=45°,
∴AE=BE.
设BE=x,
∵BC=4$\sqrt{5}$,
∴CE=$\sqrt{80 - x^{2}}$.
∵AE + CE=OA + OC,
∴x + $\sqrt{80 - x^{2}}$=12,
整理,得x² - 12x + 32 = 0,解得x₁=4(不符合题意,舍去),x₂=8,
∴BE=8,OE=8 - 6=2,
∴B(2,8).
把B(2,8)代入y=$\frac{k}{x}$,得k=16;

(3)存在,满足条件的点P有5个.
如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△POA,
则$\frac{DP}{OP}=\frac{DB}{OA}$,即$\frac{8 - OP}{OP}=\frac{2}{6}$,解得OP=6,
∴P(0,6);
若△PDB∽△AOP,则$\frac{DP}{OA}=\frac{DB}{OP}$,即$\frac{8 - OP}{6}=\frac{2}{OP}$,
解得OP=2或OP=6,
∴P(0,2)或P(0,6);

如图3,若点P在OD上方,若△PDB∽△POA,
则$\frac{DP}{OP}=\frac{DB}{OA}$,即$\frac{OP - 8}{OP}=\frac{2}{6}$,解得OP=12,
∴P(0,12);
若△PDB∽△AOP,则$\frac{DP}{OA}=\frac{DB}{OP}$,
即$\frac{OP - 8}{6}=\frac{2}{OP}$,解得OP=4 + 2$\sqrt{7}$或OP=4 - 2$\sqrt{7}$(不符合题意,舍去),
∴P(0,4 + 2$\sqrt{7}$);

如图4,若点P在OD下方,若△PDB∽△POA,
则$\frac{DP}{OP}=\frac{DB}{OA}$,即$\frac{8 + OP}{OP}=\frac{2}{6}$,解得OP=-12(不符合题意,舍去);
若△PDB∽△AOP,则$\frac{DP}{OA}=\frac{DB}{OP}$,即$\frac{8 + OP}{6}=\frac{2}{OP}$,
解得OP=-4 + 2$\sqrt{7}$或-4 - 2$\sqrt{7}$(不符合题意,舍去),
∴P(0,2$\sqrt{7}$ - 4).
综上,点P的坐标为(0,2)或(0,6)或(0,12)或(0,4 + 2$\sqrt{7}$)或(0,2$\sqrt{7}$ - 4).