《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

24. (10分)如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，BC=AD=20，cos B=$\frac{3}{5}$. 求：
(1)线段BD的长；
(2)∠EDC的正切值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)$\because AD$是边$BC$上的高，$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$
$\because$在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\cos B=\frac{3}{5}$，$\therefore\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$，$\therefore BD=\frac{3}{5}AB$
$\because BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$，$AD = 20$，$\therefore(\frac{3}{5}AB)^{2}+20^{2}=AB^{2}$，解得$AB = 25$，
$\therefore BD=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}\times25 = 15$；
(2)$\because AD$是边$BC$上的高，$\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$
$\because E$是边$AC$的中点，$\therefore DE=\frac{1}{2}AC = CE$，$\therefore\angle EDC=\angle C$
$\because BC = 20$，$BD = 15$，$\therefore CD=BC - BD=20 - 15 = 5$，
$\therefore\tan\angle C=\frac{AD}{CD}=\frac{20}{5}=4$，$\therefore\tan\angle EDC = 4$

25. (12分)如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：根据图形，得$\angle AFE+\angle EFC+\angle BFC = 180^{\circ}$，
根据折叠的性质，得$\angle EFC=\angle EDC = 90^{\circ}$，即$\angle AFE+\angle BFC = 90^{\circ}$
在$Rt\triangle BCF$中，$\angle BCF+\angle BFC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AFE=\angle BCF$
根据折叠的性质，得$CF = CD$
$\because BC = 8$，$CF = CD = 10$，$\therefore$由勾股定理，得$BF = 6$，则$\tan\angle BCF=\frac{3}{4}$，
$\therefore\tan\angle AFE=\tan\angle BCF=\frac{3}{4}$