《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

23. (12分)(大单元)如图，三角形花园$ABC$紧邻湖泊，四边形$ABDE$是沿湖泊修建的人行步道. 经测量，点$C$在点$A$的正东方向，$AC = 200$米，点$E$在点$A$的正北方向，点$B$，$D$在点$C$的正北方向，$BD = 150$米，点$B$在点$A$的北偏东$30^{\circ}$方向，点$D$在点$E$的北偏东$45^{\circ}$方向. 求步道$AE$的长.

答案： 解：如图，过点$D$作$DF\perp AE$交$AE$于点$F$，则四边形$ACDF$是矩形，则$DF = AC = 200$米，$AF = CD$.
根据题意，得$\angle DEF = 45^{\circ}$，$\angle ABC=\angle EAB = 30^{\circ}$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形，
$\therefore DE=\sqrt{2}DF = 200\sqrt{2}$米，$EF = DF = 200$米.
在$Rt\triangle ABC$中，$BC=\frac{AC}{\tan\angle ABC}=\frac{200}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=200\sqrt{3}$(米)，
$\therefore AF = CD = BC + BD=(200\sqrt{3}+150)$米，
$\therefore AE = AF - EF=(200\sqrt{3}+150)-200=(200\sqrt{3}-50)$米.
答：步道$AE$的长是$(200\sqrt{3}-50)$米.