《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

5. 如图，一次函数$y = kx - 1$的图象与$x$轴交于点$A$，与反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象交于点$B$，$BC\perp x$轴于点$C$. 若$\triangle ABC$的面积为1，则$k$的值是________.

答案： 2

6. 已知一次函数$y = ax + b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于$A(4,2)$，$B(-2,m)$两点，则一次函数的解析式为________.

答案： $y = x - 2$

7. 如图，直线$AB$经过原点$O$，与双曲线$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$交于$A$，$B$两点，$AC\perp y$轴于点$C$，且$\triangle ABC$的面积是8，则$k$的值是________.

答案： -8

8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = mx + n(m\neq0,m,n$为常数)的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x\neq0)$的图象交于第二、四象限内的$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，过点$A$作$AM\perp x$轴，垂足为$M$，$AM = 3$，$OM = 1$，点$B$的纵坐标为$-1$.
(1)求一次函数的解析式；
(2)连接$OA$，$OB$，求$\triangle AOB$的面积.

答案： 解：
(1) $\because AM\perp x$轴于点$M$，$AM = 3$，$OM = 1$，$\therefore A(-1,3)$.
把$A(-1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得$k = - 3$，$\therefore y=-\frac{3}{x}$，
令$y = - 1$，则$x = 3$，$\therefore B(3,-1)$.
把$A(-1,3)$，$B(3,-1)$代入一次函数$y = mx + n$，可得
$\begin{cases}-m + n = 3\\3m + n = - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 1\\n = 2\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的解析式为$y = - x + 2$；
(2)对于一次函数$y = - x + 2$，令$x = 0$，则$y = 2$，$\therefore C(0,2)$，$\therefore OC = 2$.
又$\because A(-1,3)$，$B(3,-1)$，$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times2\times1+\frac{1}{2}\times2\times3 = 4$.