《2025年阳光夺冠九年级数学下册》

4. 如图，在平面直角坐标系中，点$P$在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上. 过点$P$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，垂足分别为$A$，$B$，取线段$OB$的中点$C$，连接$PC$并延长交$x$轴于点$D$，则$\triangle APD$的面积为________.

答案： 6

5. 如图，已知点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，作$Rt\triangle ABC$，点$D$为斜边$AC$的中点，连接$DB$并延长交$y$轴于点$E$. 若$\triangle BCE$的面积为8，则$k=$________.

答案： 16

6. 如图，点$P$为函数$y=\frac{1}{2}x + 1$与函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$图象的交点，点$P$的纵坐标为4，$PB\perp x$轴，垂足为点$B$.
(1)求$m$的值；
(2)点$M$是函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$图象上一动点，过点$M$作$MD\perp BP$于点$D$，若$\tan\angle PMD=\frac{1}{2}$，求点$M$的坐标.

答案：
解:
(1)
∵点P为函数y=$\frac{1}{2}$x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
　
∴4=$\frac{1}{2}$x+1，解得x=6，
∴点P(6,4).
　
∵点P为函数y=$\frac{1}{2}$x+1与函数y=$\frac{m}{x}$(x＞0)图象的交点，
　
∴4=$\frac{m}{6}$，
∴m=24;
(2)设点M的坐标为(x,y).
　
∵tan∠PMD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PD}{DM}$=$\frac{1}{2}$.
　　①点M在点P右侧，如图1.
　
∵点P(6,4)，
∴PD=4−y，DM=x−6，
∴$\frac{4 - y}{x - 6}=\frac{1}{2}$.
　　由
(1)，知y=$\frac{24}{x}$，
∴2(4−$\frac{24}{x}$)=x−6，解得x=6或8.
　
∵点M在点P右侧，
∴x=8，y=3，
∴点M的坐标为(8,3);
　　 　 ②点M在点P左侧，如图2.
　
∵点P(6,4)，
∴PD=y−4，DM=6−x，
∴$\frac{y - 4}{6 - x}=\frac{1}{2}$.
　　由
(1)，知y=$\frac{24}{x}$，
∴2($\frac{24}{x}$−4)=6−x，解得x=6或8.
　
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在.
综上，点M的坐标为(8,3).