《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册苏科版江苏专版》

26. [知识生成] 我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式. 如图①所示为由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边的长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$.
(1) 图①中涂色部分的面积用两种方法可分别表示为_______，_______.
(2) $a$，$b$，$c$之间的数量关系为___________(化为最简形式).
(3) 若一直角三角形的一条直角边的长为5，斜边的长为13，求它的另一条直角边的长.
[知识迁移] 通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式. 如图②所示为棱长为$a + b$的正方体，被分割线分成8块.
(4) 用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为___________.
(5) 已知$a + b = 4$，$ab = 2$，利用上面的规律求$a^{3}+b^{3}$的值.

答案：
(1)$c^{2}-2ab$ $(b - a)^{2}$ （2）$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ （3）在$a^{2}+b^{2}=c^{2}$中，不妨设$a = 5$，$c = 13$，则$5^{2}+b^{2}=13^{2}$，所以$b^{2}=144$，所以$b = 12$（负值舍去），所以它的另一条直角边的长为 12 （4）$(a + b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}$ （5）因为$a + b = 4$，$ab = 2$，$(a + b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}=a^{3}+b^{3}+3ab(a + b)$，所以$4^{3}=a^{3}+b^{3}+3\times2\times4$，所以$a^{3}+b^{3}=40$