《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册苏科版江苏专版》

5. 定义：任意两个数a，b，按规则$c=(a + 1)(b + 1)$运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”.
（1）若$a = 4$，$b=-2$，求a，b的“和积数”c；
（2）若$ab=\frac{1}{2}$，$a^{2}+b^{2}=8$，求a，b的“和积数”c.

答案： （1）根据“和积数”的定义，得$c=(4 + 1)\times(-2 + 1)=-5$
（2）根据题意，得$c=(a + 1)(b + 1)=ab + a + b + 1$. 因为$ab=\frac{1}{2}$，$a^{2}+b^{2}=8$，所以$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=8 + 1=9$，所以$a + b=3$或$a + b=-3$. 当$a + b=3$时，$c=\frac{1}{2}+3 + 1=\frac{9}{2}$；当$a + b=-3$时，$c=\frac{1}{2}-3 + 1=-\frac{3}{2}$. 综上所述，$c$的值为$\frac{9}{2}$或$-\frac{3}{2}$

6. 我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当$x + m$取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于$x=-m$对称，称$x=-m$是它的对称轴. 例如：$x^{2}-4x + 3=x^{2}-4x + 4-4 + 3=(x - 2)^{2}-1$. 观察可以发现，当$x - 2$取任意一对互为相反数的值时，多项式$x^{2}-4x + 3$的值是相等的，则称$x^{2}-4x + 3$关于$x = 2$对称，$x = 2$是它的对称轴.
（1）将多项式$x^{2}+6x + 4$变形为$(x + m)^{2}+n$的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式$x^{2}-kx + 4$关于$x = 3$对称，求k的值.

答案： （1）$x^{2}+6x + 4=x^{2}+6x + 9-9 + 4=(x + 3)^{2}-5$，所以对称轴为$x=-3$ （2）因为$x^{2}-kx + 4=(x-\frac{k}{2})^{2}+4-\frac{k^{2}}{4}$，且关于$x = 3$对称，所以$\frac{k}{2}=3$，解得$k = 6$

7. 定义：若有序数对$(x,y)$满足二元一次方程$ax+by = c$（a，b为不等于0的常数），则称$(x,y)$为二元一次方程$ax + by = c$的“数对解”. 例如：有序数对$(-1,3)$满足$3x-y=-6$，则称$(-1,3)$为$3x-y=-6$的“数对解”.
（1）有下列有序数对：①$(\frac{1}{2},-3)$；②$(-1,6)$；③$(1,2)$. 判断这些有序数对是否为二元一次方程$2x + y = 4$的“数对解”.
（2）若有序数对$(p + q,p + 5)$为方程$2x-y = 1$的一个“数对解”，且p，q为正整数，求p，q的值.

答案： （1）当$x=\frac{1}{2}$，$y=-3$时，$2x + y=2\times\frac{1}{2}-3=-2\neq4$，所以①不是二元一次方程$2x + y=4$的“数对解”. 当$x=-1$，$y = 6$时，$2x + y=2\times(-1)+6 = 4$，所以②是二元一次方程$2x + y=4$的“数对解”. 当$x = 1$，$y = 2$时，$2x + y=2\times1+2 = 4$，所以③是二元一次方程$2x + y=4$的“数对解”. 综上所述，②③是二元一次方程$2x + y=4$的“数对解” （2）因为有序数对$(p + q,p + 5)$为方程$2x-y=1$的一个“数对解”，所以$2(p + q)-(p + 5)=1$，化简，得$p + 2q=6$. 因为$p$，$q$为正整数，所以$\begin{cases}p = 4\\q = 1\end{cases}$或$\begin{cases}p = 2\\q = 2\end{cases}$