《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册苏科版江苏专版》

8. 已知$a = 2^{-555}$，$b = 3^{-444}$，$c = 6^{-222}$，请用“＞”把它们按从大到小的顺序连接起来，并说明理由.

答案： $a＞c＞b$ 理由：$a = 2^{-555}=(2^{-5})^{111}=(\frac{1}{32})^{111},b = 3^{-444}=(3^{-4})^{111}=(\frac{1}{81})^{111},c = 6^{-222}=(6^{-2})^{111}=(\frac{1}{36})^{111}$. 因为$\frac{1}{32}＞\frac{1}{36}＞\frac{1}{81}$，所以$a＞c＞b$.

9.（2024·广元）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”. 什么是阿秒？1阿秒是$10^{-18}$秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一. 目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 ________ 秒.

答案： $4.3×10^{-17}$

10. 定义一种新运算：$\int_{b}^{a}n\cdot x^{n - 1}dx = a^{n}-b^{n}$，例如：$\int_{n}^{k}2xdx = k^{2}-n^{2}$. 已知$\int_{5m}^{m}-x^{-2}dx = -2$，则$m$的值为 （ ）
A. -2
B. $-\frac{2}{5}$
C. 2
D. $\frac{2}{5}$

答案： B

11.（2023·河北）光年是天文学上的一种距离单位，1光年是指光在真空中传播1年的距离，约等于$9.46\times 10^{12}$千米，下列判断正确的是 （ ）
A. $9.46\times 10^{12}-10 = 9.46\times 10^{11}$
B. $9.46\times 10^{12}-0.46 = 9\times 10^{12}$
C. $9.46\times 10^{12}$是一个十二位数
D. $9.46\times 10^{12}$是一个十三位数

答案： D

12.（1）若$4^{a}=m$，$8^{b}=n$，则$2^{4a + 9b}$的值为 ________ ；
（2）若$2x = 3 + y$，则$2^{y}\div 4^{x}$的值为 ________.

答案： （1）$m^{2}n^{3}$ （2）$\frac{1}{8}$

13. 阅读材料：
求$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots + 2^{2019}+2^{2020}$的值.
解：设$S = 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots + 2^{2019}+2^{2020}$①.
将等式两边同时乘2，得$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\cdots + 2^{2020}+2^{2021}$②.
② - ①，得$2S - S = 2^{2021}-1$.
所以$S = 2^{2021}-1$，即$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots + 2^{2019}+2^{2020}=2^{2021}-1$.
请你仿照此法计算：
（1）$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots + 2^{9}+2^{10}$；
（2）$1 + 3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots + 3^{n - 1}+3^{n}$（其中$n$为正整数）.

答案： （1）设$S = 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{9}+2^{10}$ ①. 将等式两边同时乘2，得$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\cdots+2^{10}+2^{11}$ ②. ② - ①，得$2S - S = 2^{11}-1$. 所以$S = 2^{11}-1$，即$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{9}+2^{10}=2^{11}-1$ （2）设$S = 1 + 3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n - 1}+3^{n}$ ①. 将等式两边同时乘3，得$3S = 3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+\cdots+3^{n}+3^{n + 1}$ ②. ② - ①，得$3S - S = 3^{n + 1}-1$. 所以$S=\frac{1}{2}(3^{n + 1}-1)$，即$1 + 3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n - 1}+3^{n}=\frac{1}{2}(3^{n + 1}-1)$（其中$n$为正整数）