《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 如图，用四张完全相同且长、宽分别为$x,y(x＞y)$的长方形纸片围成一个大正方形$ABCD$，中间是空的小正方形$EFGH$。已知$AB = 7$，$EF = 3$，则下列关系式不正确的是 （ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $x - y = 3$
B. $xy = 10$
C. $x^{2}-y^{2}=21$
D. $x^{2}+y^{2}=40$

答案： D

2. 已知$(x + y)^{2}=24$，$(x - y)^{2}=8$，则$x^{2}+y^{2}$的值为_______，$xy$的值为_______。

答案： 16 4

3. 已知$x+\frac{1}{x}=3$，求下面各式的值：
　(1)$(x - \frac{1}{x})^{2}$； 　(2)$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$。

答案： （1）因为$x+\frac{1}{x}=3$，所以$(x+\frac{1}{x})^2=9$，即$x^2+2x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=9$，所以$x^2+\frac{1}{x^2}=7$，所以$(x - \frac{1}{x})^2=x^2-2x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-2=7 - 2=5$ （2）由（1），得$x^2+\frac{1}{x^2}=7$，两边平方，得$(x^2+\frac{1}{x^2})^2=49$，即$x^4+2x^2\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}=49$，所以$x^4+\frac{1}{x^4}=49 - 2=47$

4. 若$m + n = 3$，$mn = 2$，求$(m - n)^{2}$的值。

答案： 因为$m + n=3$，所以$(m + n)^2=3^2$，即$m^2+2mn + n^2=9$。因为$mn=2$，所以$m^2 + n^2=5$，所以$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2=(m^2 + n^2)-2mn=5 - 2×2=1$

5. (1)若$x + y = 3$，$xy = 1$，则$x^{2}+y^{2}$的值为_______。

答案： （1）7

(2)若$x(5 - x)=4$，则$x^{2}+(x - 5)^{2}$的值为_______。

答案： （2）17

(3)两块完全相同的特制直角三角板（$\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}$）按如图所示的方式放置，且点$A$，$O$，$D$在同一条直线上，连接$AC$，$BD$。若$AD = 16$，$S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOD}=68$，求一块三角板的面积。　　　　　

答案： （3）设$OA = a$，$OD = b$，一块三角板的面积为$S$，则$a + b=OA + OD=AD=16$。由题意，得$\triangle AOC$，$\triangle BOD$为等腰直角三角形。因为$S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOD}=68$，所以$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=68$，即$a^2 + b^2=136$。因为$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab$，所以$2ab=(a + b)^2-(a^2 + b^2)=256 - 136=120$，所以$ab = 60$，所以$S=\frac{1}{2}ab=30$。答：一块三角板的面积为30