《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册苏科版江苏专版》

20. 将4张长为$a$、宽为$b(a＞b)$的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为$a + b$的正方形，图中空白部分的面积为$S_{1}$，涂色部分的面积为$S_{2}$. 若$S_{1}=2S_{2}$，则$a$，$b$满足 （ ）

A. $2a = 5b$
B. $2a = 3b$
C. $a = 3b$
D. $a = 2b$

答案： D

21.（2023·巴中）我国南宋时期数学家杨辉写下的《详解九章算法》一书中记载了$(a + b)^{n}$的展开式的系数规律(如图). 当代数式$x^{4}-12x^{3}+54x^{2}-108x + 81$的值为1时，$x$的值为 （ ）
A. 2
B. -4
C. 2或4
D. 2或-4

答案： C 解析：根据题意，得$(a + b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$，所以$x^{4}-12x^{3}+54x^{2}-108x + 81 = x^{4}+4x^{3}\cdot(-3)+6x^{2}\cdot(-3)^{2}+4x\cdot(-3)^{3}+(-3)^{4}=(x - 3)^{4}$，所以$(x - 3)^{4}=1$.因为$(\pm1)^{4}=1$，所以$x - 3 = -1$或$x - 3 = 1$，解得$x = 2$或 4.

22. (1) 若$x$，$y$满足$x = 2y - 2$，$x + 2y = 3$，则代数式$4y^{2}-x^{2}$的值为_______；
(2) 若$m + 2n = 1$，则$3m^{2}+6mn + 6n$的值为_______.

答案：
(1)6
(2)3 解析：由$m + 2n = 1$，得$m = 1 - 2n$.代入$3m^{2}+6mn + 6n$，得$3m^{2}+6mn + 6n = 3(1 - 2n)^{2}+6(1 - 2n)n + 6n = 3(1 - 4n + 4n^{2})+6n - 12n^{2}+6n = 3 - 12n + 12n^{2}+6n - 12n^{2}+6n = 3$.

23. 已知$a$，$b$满足$a + b = 2$，$ab=\frac{3}{4}$，则$a - b$的值为_______.

答案： $\pm1$

24.（2023·宿迁）若$m$满足$(m - 2023)^{2}+(2024 - m)^{2}=2025$，求$(m - 2023)(2024 - m)$的值.

答案： 因为$(m - 2023)^{2}+(2024 - m)^{2}=2025$，所以$[(m - 2023)+(2024 - m)]^{2}-2(m - 2023)(2024 - m)=2025$，即$1 - 2(m - 2023)(2024 - m)=2025$，所以$-2(m - 2023)(2024 - m)=2025 - 1$，所以$(m - 2023)(2024 - m)=-1012$

25. 某校有一块长为$(2a + 6b)$米、宽为$(2a + b)$米的长方形草坪，经该校校委会研究决定：现统一规划为在原基础上长增加$(3a + b)$米，宽减少$a$米，改造后得到一个新的长方形草坪，其中$a＞b＞0$.
(1) 请你求出新的长方形草坪的面积(要求把结果化简展开).
(2) 草坪改造后与改造前相比面积是增加了还是减少了？请通过计算说明理由.

答案：
(1)新的长方形草坪的面积为$[(2a + 6b)+(3a + b)]\cdot[(2a + b)-a]=(2a + 6b + 3a + b)(2a + b - a)=(5a + 7b)(a + b)=(5a^{2}+12ab + 7b^{2})$平方米 （2）草坪改造后与改造前相比面积增加了 理由：由（1）得新的长方形草坪的面积为$(5a^{2}+12ab + 7b^{2})$平方米.又因为原长方形草坪的面积为$(2a + 6b)(2a + b)=(4a^{2}+14ab + 6b^{2})$平方米，所以$(5a^{2}+12ab + 7b^{2})-(4a^{2}+14ab + 6b^{2})=5a^{2}+12ab + 7b^{2}-4a^{2}-14ab - 6b^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$.又因为$a＞b＞0$，所以$(a - b)^{2}＞0$，所以草坪改造后与改造前相比面积增加了.