《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例21 (1)(2025·北京)已知$(1-2x)^{4}=$$a_{0}-2a_{1}x+4a_{2}x^{2}-8a_{3}x^{3}+16a_{4}x^{4}$，则$a_{0}=$；$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$.
(2)(浙江高考题)已知多项式$(x+2)(x-1)^{4}=$$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}$，则$a_{2}=$，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$.

答案： 解析▶
(1)方法1 (赋值法)令$x=0$，则$a_{0}=1,$
又$(1-2x)^{4}=a_{0}-2a_{1}x+4a_{2}x^{2}-8a_{3}x^{3}+16a_{4}x^{4},$
故$(1-2x)^{4}=a_{0}+a_{1}(-2x)+a_{2}(-2x)^{2}+a_{3}(-2x)^{3}+$$a_{4}(-2x)^{4},$
令$t=-2x$，则$(1+t)^{4}=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4},$
令$t=1$，则$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2^{4},$
故$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=15.$
方法2 考试时如果没有想到赋值法也不要急，直接对式子展开计算也可得到答案.
$(1-2x)^{4}$的通项为$T_{r+1}=C_{4}^{r}· (-2x)^{r}$，则$(1-2x)^{4}=1+C_{4}^{1}(-2x)+C_{4}^{2}(-2x)^{2}+C_{4}^{3}(-2x)^{3}+$$(-2x)^{4}=1-8x+24x^{2}-32x^{3}+16x^{4}=a_{0}-2a_{1}x+$$4a_{2}x^{2}-8a_{3}x^{3}+16a_{4}x^{4},$
所以$a_{0}=1,a_{1}=4,a_{2}=6,a_{3}=4,a_{4}=1,$
则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=15.$
(2)由多项式展开式可知，$a_{2}=2C_{4}^{2}(-1)^{2}+$$C_{4}^{3}(-1)^{3}=12-4=8.$
令$x=0$可得$a_{0}=2,$
令$x=1$可得$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0,$
所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=-2.$
答案▶
(1)1 15
(2)8 -2

1.[多选题](2025·陕西省安康中学月考)对任意实数x，有$(2x-3)^{7}=a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-$$1)^{2}+... +a_{7}(x-1)^{7}$，则下列结论成立的是
(ACD)

A.$a_{0}=-1$
B.$a_{2}=84$
C.$a_{0}-a_{1}+a_{2}-... +a_{6}-a_{7}=-3^{7}$
D.$|a_{0}|+|a_{1}|+... +|a_{7}|=3^{7}$

答案： 1.$ACD$因为$(2x-3)^{7}=a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2}+·s+a_{7}(x-1)^{7}$,令$t=x-1$,则$x=t+1$,所以$(2t-1)^{7}=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+·s+a_{7}t^{7}$，其中$(2t-1)^{7}$展开式的通项为$T_{k+1}=C_{7}^{k}2^{7-k}(-1)^{k}t^{7-k}$。令$t=0$,则$(-1)^{7}=a_{0}=-1$,故$A$正确；令$7-k=2$,即$k=5$,所以$T_{6}=C_{7}^{5}2^{2}(-1)^{5}t^{2}=-84t^{2}$,所以$a_{2}=-84$,故$B$错误；令$t=-1$,则$a_{0}-a_{1}+a_{2}-·s+a_{6}-a_{7}=(-3)^{7}=-3^{7}$,故$C$正确；因为$a_{0}＜0,a_{1}＞0,a_{2}＜0,·s,a_{6}＜0,a_{7}＞0$,所以$\vert a_{0}\vert+\vert a_{1}\vert+·s+\vert a_{7}\vert=-a_{0}+a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}-a_{6}+a_{7}=3^{7}$,故$D$正确故选$ACD$.

2. 新考法 结构不良 (2025·河北省盐山中学月考)在下列三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.
条件①，展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②，展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；
条件③，展开式中常数项为第三项.
问题：已知二项式$(\sqrt {x}-\frac {1}{x})^{n}$，若，求
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项.

答案： 2.若选①,由$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=22$,解得$n=6$(负值舍去).
若选②,由$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+·s+C_{n}^{n}-0=2^{n}=64$,解得$n=6$.
若选③,二项式的通项为$T_{k+1}=C_{n}^{k}(-1)^{k}x^{\frac{n-3k}{2}}$,因为展开式中常数项为第三项,则$k=2,\frac{n-3k}{2}=0$,故$n=6$.
(1)由$n=6$得,展开式的二项式系数最大项为$T_{4}=C_{6}^{3}(-1)^{3}x^{-\frac{3}{2}}=-20x^{-\frac{3}{2}}$.
(2)设第$r+1$项为有理项，因为$T_{r+1}=C_{6}^{r}(-1)^{r}x^{\frac{6-3r}{2}}$,且$0\leq r\leq6,r\in N$,所以$r=0,2,4,6$,
则有理项为$T_{1}=C_{6}^{0}x^{3}=x^{3},T_{3}=C_{6}^{2}x^{0}=15$,$T_{5}=C_{6}^{4}x^{-3}=15x^{-3},T_{7}=C_{6}^{6}x^{-6}=x^{-6}$。