《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例2-3 化简：$(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}) - (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}) =$.

答案： 解析 方法1 原式$=\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} = 0$. (统一成加法)
方法2 原式$=\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = 0$.
答案 0

例2-4 化简：$\frac{1}{2}(a + 2b - 3c) + 5(\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b + \frac{2}{3}c) - 3(a - 2b + c) =$.

答案： 解析 原式$= (\frac{1}{2} + 5 × \frac{2}{3} - 3)a + (\frac{1}{2} × 2 - 5 × \frac{1}{2} + 3 × 2)b + (-3 × \frac{1}{2} + 5 × \frac{2}{3} - 3)c = \frac{5}{6}a + \frac{9}{2}b - \frac{7}{6}c$.
答案 $\frac{5}{6}a + \frac{9}{2}b - \frac{7}{6}c$

例2-5 [教材改编P8T4] (2025·北京市第一七一中学月考) 如图6.1-14，在三棱锥$O - ABC$中，$D$是$BC$的中点，若$\overrightarrow{OA} = a$，$\overrightarrow{OB} = b$，$\overrightarrow{OC} = c$，则$\overrightarrow{AD}$等于()


A.$-a + b + c$
B.$-a + b - c$
C.$-a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$
D.$-a - \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c$

答案： 解析 因为$D$为$BC$的中点，所以$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，又$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$，所以$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}[(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})] = -\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = -a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$.
答案 C

例3-6 以下说法中，正确的是（）

A.若空间向量满足$a // b$，$b // c$，则$a // c$
B.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共线
C.已知空间四边形$ABCD$，则由四条线段$AB$，$BC$，$CD$，$DA$分别确定的四个向量之和为零向量
D.若$a$，$b$共线，则$a$与$b$所在直线平行

答案： 解析 对于A，当$b$为$0$时，$a // c$不一定成立，故不正确；
对于B，异面直线不平行，则异面直线上的有向线段表示的向量不共线，故正确；
对于C，空间四边形的四条边中每条边都可以确定两个方向相反的向量，当四个向量不是首尾相接时，这四个向量的和就不是零向量，故不正确；(举反例$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AD} \neq 0$)
对于D，若$a$，$b$共线，则$a$与$b$还可能在同一条直线上，故不正确.
答案 B