《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

5.一排9个座位坐了3个三口之家。若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 （C）

A.$3×3!$
B.$3×(3!)^{3}$
C.$(3!)^{4}$
D.$9!$

答案： 5.C 第一步，把3个家庭各自看成一个整体进行排序，排法有$A_{3}^{3}=3!$（种）；
第二步，把3个家庭分别排列，每个家庭的排法有$A_{3}^{3}=3!$（种），3个家庭的排法共有$3!×3!×3!=(3!)^{3}$（种）.
由分步计数原理知，不同的坐法种数为$(3!)^{4}$.

例 10 5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有种。

答案： 解析▶第1步，先排5位母亲的位置，有$A_{5}^{5}$种排法；
第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：

母亲

母亲

母亲

母亲

母亲

，
共有$A_{6}^{5}$种排法。
由分步计数原理可知，符合条件的站法共有$A_{5}^{5}· A_{6}^{5}=86400$(种)。
答案▶86400

例 11 已知A,B,C,D,E5名同学，按下列要求排成一排，求所有满足条件的排列方法数。
(1)5名同学排成一排且A,B不相邻；
(2)5名同学排成一排，且A,B,C都不相邻；
(3)把5名同学排成一排且A,B都不与C相邻；
(4)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A,B不相邻。

答案：
解析▶
(1)方法1（直接法） 分两步。第一步：先排不受限制的同学C,D,E，有$A_{3}^{3}$种不同的排法。
第二步：由于已经排好的同学C,D,E间（包括两端）形成了4个空档，把有限制条件（不相邻）的同学A,B插到这4个空档中，有$A_{4}^{2}$种不同的排法。
根据分步计数原理，满足条件的排列方法有$A_{3}^{3}A_{4}^{2}=72$（种）。
方法2（排除法） 先不考虑A,B不相邻这个限制条件，5名同学进行排列有$A_{5}^{5}$种排法，其中A,B相邻的排法有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}$种，故满足条件的排法有$A_{5}^{5}-A_{2}^{2}A_{4}^{4}=72$（种）。
(2)方法1（直接法） 分两步。
第一步：先排D,E两同学，有$A_{2}^{2}$种不同的排法。
第二步：D,E两同学之间（包括两端）形成了三个空档，将A,B,C三同学插入其中，有$A_{3}^{3}$种不同的排法。
根据分步计数原理，满足条件的排列方法有$A_{2}^{2}A_{3}^{3}=12$（种）。
方法2（排除法） 先不考虑A,B,C都不相邻的这个限制条件，将5名同学排成一排有$A_{5}^{5}$种排法，其中A,B,C三者相邻的排法有$A_{3}^{3}A_{3}^{3}$种，仅A,B相邻且不与C相邻的排法有$A_{2}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{2}$种，仅A,C相邻且不与B相邻的排法有$A_{2}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{2}$种，仅B,C相邻且不与A相邻的排法有$A_{2}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{2}$种。
故满足条件的排法共有$A_{5}^{5}-A_{3}^{3}A_{3}^{3}-3A_{2}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{2}=12$（种）。
(3)方法1（直接法） 分三步。
第一步：先排不受限制的同学D,E，其排列方法有$A_{2}^{2}$种。
第二步：由于已经排好的同学D,E之间（包括两端）形成了3个空档，把有限制条件（不相邻）的同学A,C插到这3个空档中，有$A_{3}^{2}$种不同的排法。
第三步：由于已经排好的A,C,D,E之间（包括两端）形成了5个空档，但由于B不能与C相邻，所以把B插入已经排好的A,C,D,E中时只有3种选择，即有3种不同的排法。
（注意A,B是可以相邻的）

根据分步计数原理，符合条件的排法有$A_{2}^{2}A_{3}^{2}× 3=36$（种）。
方法2（排除法） 先不考虑限制条件，5名同学排成一排有$A_{5}^{5}$种不同的排法，其中A,C相邻的排法有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}$种，B,C相邻的排法有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}$种，但A,B都与C相邻的排法（即C在A,B之间）有$A_{2}^{2}A_{3}^{3}$种。
故满足条件的排法共有$A_{5}^{5}-2A_{2}^{2}A_{4}^{4}+A_{2}^{2}A_{3}^{3}=36$（种）。
(4)方法1（排除法） 先不考虑A,B不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空位中的5个空位上，其排列方法有$A_{6}^{5}$种；把5名同学安排到6个空位中的5个空位上且A,B相邻的排列方法有$A_{2}^{2}A_{5}^{4}$种。
（将A,B“捆绑”后视为一个元素，但排列后仍会占两个空位，因此不是从6个空位上选4个空位而是从5个空位上选4个空位）
所以满足条件的排列方法有$A_{6}^{5}-A_{2}^{2}A_{5}^{4}=480$（种）。
方法2（直接法） 先排A,B,C,D,E。
①当A,B不相邻时，由第
(1)问可知，其排列方法有72种，然后把剩余的一个空位插入到已经排好的排列中，有6种插入的方法，根据分步计数原理可知，其排列方法有$72× 6=432$（种）；
②当A,B相邻时，其排列方法有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}=48$（种），然后把剩余的一个空位插入到已经排好的排列中，欲使A,B不相邻，则其插入方法只有1种，故其排列方法有$48× 1=48$（种）。
根据分类计数原理可得，满足条件的排列方法共有$432+48=480$（种）。