《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

+ 例2-3 式子$\frac{n(n + 1)(n + 2)·s(n + 100)}{100!}$可表示为()

A.$A_{n + 100}^{100}$
B.$C_{n + 100}^{100}$
C.$101C_{n + 100}^{100}$
D.$101C_{n + 100}^{101}$

答案： 解析 ▶式子的分母是$100!$，分子是$101$个连续自然数的乘积，最大的为$n + 100$，最小的为$n$，
故$\frac{n(n + 1)(n + 2)·s(n + 100)}{100!}$
$=101·\frac{n(n + 1)(n + 2)·s(n + 100)}{101!}$
$=101C_{n + 100}^{101}$.
答案 ▶D

+ 例3-4 证明组合数的两个性质.

答案： 解析 ▶性质1的证明：
因为$C_{n}^{n - m}=\frac{n!}{(n - m)![n - (n - m)]!}=\frac{n!}{m!(n - m)!}$，$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n - m)!}$，
所以$C_{n}^{n - m}=C_{n}^{m}$.
性质2的证明：
$C_{n}^{m}+C_{n}^{m - 1}$
$=\frac{n!}{m!(n - m)!}+\frac{n!}{(m - 1)![n - (m - 1)]!}$
$=\frac{n!(n - m + 1)+n!m}{m!(n - m + 1)!}$
$=\frac{(n + 1)!}{m!(n + 1 - m)!}$
$=C_{n + 1}^{m}$，
所以$C_{n + 1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m - 1}$.

+ 例3-5 (1)[教材改编 P80 T1]若$C_{10}^{3}=C_{10}^{x}$，则正整数$x$的值为()
A. 2
B. 8
C. 2或6
D. 2或8
(2)$C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+C_{6}^{3}+·s+C_{10}^{3}=$

答案： 解析 ▶
(1)由题意得$x = 2$或$x + 2 = 10$，即$x = 2$或$x = 8$.
(2)原式$=C_{4}^{3}+C_{4 + 1}^{3}+C_{5 + 1}^{3}+·s+C_{10}^{3}-C_{4}^{3}=C_{11}^{4}-1 = 329$.
答案 ▶
(1)D
(2)329