《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

3.(2025·福建省泉州市期末)若X~B(20,$\frac{1}{3}$)，则P(X=k)(0≤k≤20,k∈N)取得最大值时，k=6或7.

答案： 3.6或7 由题意知，$X$服从二项分布，
所以$P(X=k)=C_{20}^k(\frac{1}{3})^k(1-\frac{1}{3})^{20-k}=C_{20}^k(\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{20-k}$，
$0\leqslant k\leqslant20$且$k\in N$.
$P(X=k+1)=C_{20}^{k+1}·(\frac{1}{3})^{k+1}·(\frac{2}{3})^{20-k-1},k\in N$且$k\leqslant19$，
由不等式$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}\leqslant1(0\leqslant k\leqslant19$且$k\in N)$，得$\frac{20-k}{k+1}×\frac{1}{2}\leqslant1$，
解得$k\geqslant6$.
所以当$k\geqslant6$时，$P(X=k)\geqslant P(X=k+1)$；
当$k＜6$时，$P(X=k+1)＞P(X=k)$.
因为当且仅当$k=6$时，$P(X=k+1)=P(X=k)$，
所以当$k=6$或$k=7$时，$P(X=k)$取得最大值.

例12 (1)(2025·陕西省西安市第八十五中学月考)一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于$\frac{C_{22}^1C_4^1+C_{22}^2}{C_{26}^2}$的是()
A.P(0＜X≤2)
B.P(X≤1)
C.P(X=1)
D.P(X=2)
(2)现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是$\frac{5}{7}$，则语文课本有()
A.2本
B.3本
C.4本
D.5本

答案： 解析
(1)由题意可知，X服从超几何分布，其中N=26，M=4，n=2，
P(X=1)=$\frac{C_{22}^1C_4^1}{C_{26}^2}$，P(X=0)=$\frac{C_{22}^2}{C_{26}^2}$，
所以$\frac{C_{22}^1C_4^1+C_{22}^2}{C_{26}^2}$表示取1个白球或者1个白球都没有取得，即P(X≤1).
(2)设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7-n)本，则2本都是语文课本的概率是$\frac{C_n^2C_{7-n}^0}{C_7^2}=\frac{2}{7}$，所以n²-n-12=0，解得n=4或n=-3(舍去)，所以语文课本有4本.
答案
(1)B
(2)C