《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例6 若$ C_{n}^{4}＞ C_{n}^{6}$，则$n$的取值集合是{6,7,8,9}.

答案： 解析▶$\because C_{n}^{4}＞ C_{n}^{6}$，$\therefore\begin{cases} \dfrac{n!}{4!(n-4)!}＞\dfrac{n!}{6!(n-6)!}, \\n\geqslant6,\end{cases}$
整理得$\begin{cases}n^{2}-9n-10＜0, \\n\geqslant6,\end{cases}$即$\begin{cases}-1\lt n＜10, \\n\geqslant6.\end{cases}$
$\because n\in\mathbf{N}^{*}$，$\therefore n=6,7,8,9$，
(注意隐含条件，即对于$ C_{n}^{m}$，$n\in\mathbf{N}^{*}$，$m\in\mathbf{N}$，且$m\leqslant n$)
故$n$的取值集合为$\{6,7,8,9\}$.
答案▶$\{6,7,8,9\}$

例7 计算$ A_{3}^{2}+ A_{4}^{2}+ A_{5}^{2}+·s+ A_{10}^{2}$.

答案： 解析▶原式$= C_{3}^{2} A_{2}^{2}+ C_{4}^{2} A_{2}^{2}+ C_{5}^{2} A_{2}^{2}+·s+ C_{10}^{2} A_{2}^{2}$
$=( C_{3}^{2}+ C_{4}^{2}+ C_{5}^{2}+·s+ C_{10}^{2}) A_{2}^{2}$
$=( C_{3}^{3}+ C_{3}^{2}+ C_{4}^{2}+ C_{5}^{2}+·s+ C_{10}^{2}- C_{3}^{3}) A_{2}^{2}$
（注意配凑与性质2的应用）
$=( C_{11}^{3}-1)×2$
$=2×\left( \dfrac{11×10×9}{3×2×1}-1\right)$
$=328$.

例8 证明：
$m!+\dfrac{(m+1)!}{1!}+\dfrac{(m+2)!}{2!}+·s+\dfrac{(m+n)!}{n!}=$
$m! C_{m+n+1}^{n}$.

答案： 解析▶左边
$=m!\left \lbrack 1+\dfrac{(m+1)!}{1!m!}+\dfrac{(m+2)!}{2!m!}+·s+\dfrac{(m+n)!}{n!m!}\right\rbrack$
$=m!\left(1+ C_{m+1}^{1}+ C_{m+2}^{2}+·s+ C_{m+n}^{n} \right)$
$=m!\left( C_{m+1}^{0}+ C_{m+1}^{1}+ C_{m+2}^{2}+·s+ C_{m+n}^{n}\right)$
（把1转化为$ C_{m+1}^{0}$，为下一步使用组合数的性质“$ C_{n}^{m+1}+ C_{n}^{m}= C_{n+1}^{m+1}$”做准备）
$=m!\left( C_{m+2}^{1}+ C_{m+2}^{2}+·s+ C_{m+n}^{n}\right)$
$=·s$（连续使用组合数的性质“$ C_{n}^{m+1}+ C_{n}^{m}= C_{n+1}^{m+1}$”，从而把多个组合数的和化简为一个组合数）
$=m! C_{m+n+1}^{n}$
=右边，
故等式成立.

例9 (1)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券，则此人有17 325种不同的投资方式.
(2)现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为26.

答案： 思路点拨▶
(1)选出的8种股票无顺序之分，选出的4种债券也无顺序之分，因此是组合问题，但需要分选股票、选债券两步求解；
(2)本小题需要注意一个问题，从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问题，只有从5本不同的数学杂志中选书才是组合问题.
解析
(1)需分两步.
第一步:根据经纪人的推荐在 12 种股票中选 8 种,共有$C_{12}^{8}$种选法.
第二步:根据经纪人的推荐在 7 种债券中选 4 种,共有$C_{7}^{4}$种选法.
根据分步计数原理,此人有$C_{12}^{8}· C_{7}^{4}=17325$种不同的投资方式.
(2)在这 8 本杂志中,3 本文学杂志是完全相同的,因此从中选取并不是组合问题.
从这 8 本杂志里选取 3 本,可分四类完成.
第一类:文学杂志选取 0 本,数学杂志选取 3 本,有$C_{5}^{3}$种不同的选法.
第二类:文学杂志选取 1 本,数学杂志选取 2 本,有$C_{5}^{2}$种不同的选法.
第三类:文学杂志选取 2 本,数学杂志选取 1 本,有$C_{5}^{1}$种不同的选法.
第四类:文学杂志选取 3 本,数学杂志选取 0 本,有 1 种不同的选法.
根据分类计数原理,不同选法的种数为$C_{5}^{3}+C_{5}^{2}+C_{5}^{1}+1=26$.
答案
(1)17325
(2)26