《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

·例1-1(2025·山东省齐鲁名校联考)
已知三条正态密度曲线$\varphi_i(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i}e^{-\frac{(x - \mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}(x\in R,i = 1,2,3)$如图8.3 - 6所示，则下列判断正确的是()


A.$\mu_1＜\mu_2=\mu_3,\sigma_1=\sigma_2＞\sigma_3$
B.$\mu_1＞\mu_2=\mu_3,\sigma_1=\sigma_2＜\sigma_3$
C.$\mu_1=\mu_2＜\mu_3,\sigma_1＜\sigma_2=\sigma_3$
D.$\mu_1＜\mu_2=\mu_3,\sigma_1=\sigma_2＜\sigma_3$

答案： 解析 由正态密度曲线关于直线$x = \mu$对称，知$\mu_1＜\mu_2=\mu_3$.由$\sigma$的大小决定曲线的形状，知$\sigma$越大，随机变量的分布越分散，曲线越“扁平”；$\sigma$越小，随机变量的分布越集中，曲线越“尖陡”，则$\sigma_1=\sigma_2＜\sigma_3$，实际上，由$\varphi_1(\mu_1)=\varphi_2(\mu_2)＞\varphi_3(\mu_3)$，得$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}＞\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_3}$，即$\sigma_1=\sigma_2＜\sigma_3$.
答案 D

·例1-2 若正态密度曲线的函数解析式为$\varphi(x)=\frac{\sqrt{2}}{2\pi}· e^{-\frac{(x - 1)^2}{2\pi}},x\in(-\infty,+\infty)$，则其均值$\mu =$，方差$\sigma^2 =$.

答案： 解析 将函数解析式变形为$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}·\sqrt{\pi}}· e^{-\frac{(x - 1)^2}{2(\sqrt{\pi})^2}}$，则$\mu = 1,\sigma=\sqrt{\pi}$，所以$\sigma^2=\pi$.
答案 1 $\pi$