《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

6.（2025·吉林省松原市期中）在$(\sqrt {x}-\frac {2}{x^{2}})^{8}$的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项.
（3）求系数最大的项.

答案： 6.$(\sqrt{x}-\frac{2}{x^{2}})^{8}$的展开式的通项为$T_{r+1}=C_{8}^{r}·(\sqrt{x})^{8-r}(-\frac{2}{x^{2}})^{r}=(-1)^{r}· C_{8}^{r}·2^{r}· x^{4-\frac{5r}{2}}$。
(1)设第$r+1$项系数的绝对值最大，
则$\begin{cases}C_{8}^{r}·2^{r}\geq C_{8}^{r+1}·2^{r+1},\\C_{8}^{r}·2^{r}\geq C_{8}^{r-1}·2^{r-1}.\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1}{8-r}\geq\frac{2}{r+1},\frac{2}{r}\geq\frac{1}{9-r}.\end{cases}$
解得$5\leq r\leq6$，即$r=5$或$r=6$.
故系数的绝对值最大的项是第$6$项和第$7$项.
(2)二项式系数最大的项为中间项，即第$5$项，
即$T_{5}=(-1)^{4}· C_{8}^{4}·2^{4}· x^{4-\frac{20}{2}}=1120x^{-6}$。
(3)方法1由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最大项必是奇数项.设展开式中第$r+1(r$为偶数$)$项的系数最大，

例17 新定义 牛顿-莱布尼茨公式 知识卡片：
一般地，如果$f(x)$是区间$[a,b]$上的连续函数，并且$F'(x)=f(x)$，那么$∫_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-$$F(a)$.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
当$x∈R,|x|＜1$时，有如下表达式：$1+x+x^{2}+... +$$x^{n}+... =\frac {1}{1-x}.$
两边同时积分得$∫_{0}^{\frac {1}{2}}1dx+∫_{0}^{\frac {1}{2}}xdx+∫_{0}^{\frac {1}{2}}x^{2}dx+... +$$∫_{0}^{\frac {1}{2}}x^{n}dx+... =∫_{0}^{\frac {1}{2}}\frac {1}{1-x}dx,$
从而得到如下等式：$1×\frac {1}{2}+\frac {1}{2}×(\frac {1}{2})^{2}+\frac {1}{3}×$$(\frac {1}{2})^{3}+... +\frac {1}{n+1}×(\frac {1}{2})^{n+1}+... =\ln 2.$
根据以上材料所蕴含的数学思想及方法，由$C_{n}^{0}+$$C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+... +C_{n}^{n}x^{n}=(1+x)^{n}$计算：$C_{n}^{0}×\frac {1}{2}+$$\frac {1}{2}C_{n}^{1}×(\frac {1}{2})^{2}+\frac {1}{3}C_{n}^{2}×(\frac {1}{2})^{3}+... +\frac {1}{n+1}C_{n}^{n}×$$(\frac {1}{2})^{n+1}=$.

答案： 解析▶因为$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+... +C_{n}^{n}x^{n}=(1+x)^{n},$
所以$C_{n}^{0}×\frac {1}{2}+\frac {1}{2}C_{n}^{1}×(\frac {1}{2})^{2}+\frac {1}{3}C_{n}^{2}×(\frac {1}{2})^{3}+... +$$\frac {1}{n+1}C_{n}^{n}×(\frac {1}{2})^{n+1}=∫_{0}^{\frac {1}{2}}C_{n}^{0}x^{0}dx+∫_{0}^{\frac {1}{2}}C_{n}^{1}x^{1}dx+$$∫_{0}^{\frac {1}{2}}C_{n}^{2}x^{2}dx+... +∫_{0}^{\frac {1}{2}}C_{n}^{n}x^{n}dx=\frac {1}{n+1}(1+x)^{n+1}|_{0}^{\frac {1}{2}}=$$\frac {1}{n+1}[(\frac {3}{2})^{n+1}-1].$
答案▶$\frac {1}{n+1}[(\frac {3}{2})^{n+1}-1]$