《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

3.(2025·河北省卢龙县第二高级中学开学考试)有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球.若取到的2个球均为红球，则停止取球，否则在两个口袋中各放入1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止.记$A_{k}=$“取了k次球后停止取球”$(k=1,$$2,3,... )$，则$P(A_{1})=$$\frac{1}{3}$；$P(A_{4})=$$\frac{1}{30}$.

答案： 3.$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{30}$ 依题意事件$A_1$表示取了$1$次球后停止取球，故$P(A_1)=1 × \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.事件$A_4$表示前$3$次取球均不为两个红球，第$4$次取球为两个红球，故$P(A_4)=(1 - 1 × \frac{1}{3}) × (1 - \frac{2}{3} × \frac{1}{4}) × (1 - \frac{2}{4} × \frac{1}{5}) × \frac{2}{5} × \frac{1}{6}=\frac{2}{3} × \frac{5}{6} × \frac{9}{10} × \frac{1}{15}=\frac{1}{30}$.

例8 [教材改编 P105 例4](2025·四川省大英中学月考)现有甲、乙两盒，甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有2个红球1个白球，先从甲盒中取3个球放入乙盒，再从乙盒中取1个球，则取到的是红球的概率为.

答案： 思路点拨 由于事件“从乙盒中取一个球是红球”的发生，总是伴随着事件“从甲盒中取3球，其中有$i(i=$$1,2,3)$个红球”的发生，因此可使用全概率公式求其概率.
设事件$B_i$表示“从甲盒中取3个球，其中有$i$个红球”$(i=1,2,3)$，事件$A$表示“从乙盒中取一个球是红球”。
$B_1,B_2,B_3$构成样本空间的划分，计算概率：
$P(B_1)=\frac{C_3^1C_2^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，此时乙盒中红球数为$2+1=3$，$P(A|B_1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
$P(B_2)=\frac{C_3^2C_2^1}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，此时乙盒中红球数为$2+2=4$，$P(A|B_2)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
$P(B_3)=\frac{C_3^3C_2^0}{C_5^3}=\frac{1}{10}$，此时乙盒中红球数为$2+3=5$，$P(A|B_3)=\frac{5}{6}$。
由全概率公式：
$\begin{aligned}P(A)&=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)\\&=\frac{3}{10}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{2}{3}+\frac{1}{10}×\frac{5}{6}\\&=\frac{3}{20}+\frac{2}{5}+\frac{1}{12}\\&=\frac{9}{60}+\frac{24}{60}+\frac{5}{60}\\&=\frac{38}{60}\\&=\frac{19}{30}\end{aligned}$
$\frac{19}{30}$

例9 (2025·河北省武安市第一中学月考)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收到的信号为1的概率为()

A.0.475
B.0.525
C.0.425
D.0.575

答案：
思路点拨 设A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”，为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图8.1-3直观表示.

【解析】：设A为“发送的信号为0”，$\overline{A}$为“发送的信号为1”，$\overline{B}$为“接收到的信号为1”。由题意知$P(A)=P(\overline{A})=0.5$，$P(\overline{B}|A)=0.1$，$P(\overline{B}|\overline{A})=0.95$。根据全概率公式，$P(\overline{B})=P(A)P(\overline{B}|A)+P(\overline{A})P(\overline{B}|\overline{A})=0.5×0.1 + 0.5×0.95 = 0.525$。
【答案】：B