《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例1-1 已知点$A(1,2,-1),B(2,0,1)$是直线$l$上的两点.
(1)求直线$l$的一个方向向量；
(2)判断向量$\boldsymbol{a}=(-2,4,-4)$是不是直线$l$的一个方向向量；
(3)判断点$M(3,3,1)$是否在直线$l$上.

答案： 解析
(1)直线$l$的一个方向向量为$\overrightarrow{AB}=(1,-2,2)$.
(2)由于$\boldsymbol{a}=-2\overrightarrow{AB}$，则$\boldsymbol{a}//\overrightarrow{AB}$，故向量$\boldsymbol{a}$是直线$l$的一个方向向量.
(3)$\overrightarrow{AM}=(2,1,2)$.设$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，即$(2,1,2)=\lambda(1,-2,2)$，所以$\left\{\begin{array}{l} 2=\lambda,\\ 1=-2\lambda,\\ 2=2\lambda,\end{array}\right. $这样的$\lambda$不存在，即向量$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{AB}$不共线.故点$M$不在直线$l$上.

例1-2 (2025·江苏省无锡市市北高级中学期中)如图6.3-8所示，四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$O$是$AC$与$BD$的交点，$M$是$PC$的中点，在$DM$上取一点$G$，过点$G$和$AP$作平面交平面$BDM$于$GH$.求证：$\overrightarrow{AP}$是直线$GH$的一个方向向量.

答案： 解析 连接$MO$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$为$AC$的中点，
又$M$是$PC$的中点，
∴$MO// PA$.
∵$MO\subset$平面$BDM$，$PA\not\subset$平面$BDM$，
∴$PA//$平面$BDM$.
∵$PA\subset$平面$PAHG$，平面$PAHG\cap$平面$BDM=GH$，
∴$PA// GH$，
∴$\overrightarrow{AP}$是直线$GH$的一个方向向量.