《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

6. 随机变量ξ的分布列如下:

其中a,b,c成等差数列, 则函数$f(x)=x^2+2x+\xi$有且只有一个零点的概率为 (B)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$

答案： 6.B 由题意知$\begin{cases}2b = a + c, \\a + b + c = 1,\end{cases}$解得$b = \frac{1}{3}$.
$\because f(x)=x^{2} + 2x + \xi$有且只有一个零点，
$\therefore\Delta = 4 - 4\xi = 0$，解得$\xi = 1$，$\therefore P(\xi = 1)=\frac{1}{3}$.

例18 (全国I卷节选) 为治疗某种疾病, 研制了甲、乙两种新药, 希望知道哪种新药更有效, 为此进行动物试验. 试验方案如下: 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠, 随机选一只施以甲药, 另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后, 再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时, 就停止试验, 并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题, 约定: 对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分, 乙药得-1分; 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分, 甲药得-1分; 若都治愈或都未治愈则两种药均得0分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β, 一轮试验中甲药的得分记为X. 求X的分布列.

答案：
解析
(1) X的取值范围是{-1,0,1}.
$P(X=-1)=(1-\alpha)\beta$,
$P(X=0)=\alpha\beta+(1-\alpha)(1-\beta)$,
$P(X=1)=\alpha(1-\beta)$.
所以X的分布列为

例19 (2022·北京改编) 在校运动会上, 只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛, 比赛成绩达到9.50m以上 (含9.50m) 的同学将获得优秀奖. 为预测获得优秀奖的人数及冠军得主, 收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩, 并整理得到如下数据 (单位: m):
甲: 9.80, 9.70, 9.55, 9.54, 9.48, 9.42, 9.40, 9.35, 9.30, 9.25;
乙: 9.78, 9.56, 9.51, 9.36, 9.32, 9.23;
丙: 9.85, 9.65, 9.20, 9.16.
假设用频率估计概率, 且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1) 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2) 设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数, 求X的分布列.

答案：
解析
(1) 设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A.
因为比赛成绩达到9.50m以上 (含9.50m) 的同学将获得优秀奖, 甲以往的比赛成绩中达到9.50m以上 (含9.50m) 的有9.80m, 9.70m, 9.55m, 9.54m, 共4个,
所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)=0.4.
(2) X的所有可能取值为0,1,2,3.
由
(1)知, 甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)=0.4.
设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B,C, 则P(B)=0.5, P(C)=0.5.
$P(X=0)=(1-0.4) × (1-0.5) × (1-0.5) = 0.15$,
$P(X=1)=0.4 × (1-0.5) × (1-0.5) + (1-0.4) × 0.5 × (1-0.5) + (1-0.4) × (1-0.5) × 0.5 = 0.4$,
$P(X=2)=0.4 × 0.5 × (1-0.5) + 0.4 × (1-0.5) × 0.5 + (1-0.4) × 0.5 × 0.5 = 0.35$,
$P(X=3)=0.4 × 0.5 × 0.5 = 0.1$,
所以X的分布列为