《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例29(2024.全国高中数学联赛重庆赛区初赛)
由1,2,...,9这九个正整数构成的所有圆排列中,任
意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数
为.

答案： 解析》当且仅当8,9与7,9这两对数均不相邻时，圆
排列满足要求.设满足8,9相邻的圆排列有N，个,满
足7,9相邻的圆排列有N2个,满足8,9相邻且7,9相邻的圆排列有N个,则N,=N2=A2.7!,N=A2.
6!,由容斥原理得，满足要求的圆排列的个数为8！一
(N,+N−N)=21600.
答案'21600

例30)(2023.南京大学强基计划)求满足不定方程$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{30}$,且x≤y的正整数解的组数.

答案： 解析'y=$\frac{900}{x−30}$+30,由x,y为正整数且x≤y得30＜
x≤60,即0＜x−30≤30,又900=1×2²×3²×5²,所以在(0,30]内的900的约数有1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,25,30,故满足题意的正整数解的组数为14.

例31(2023.全国高中数学联赛浙江赛区预赛)
设a1,a2,a3,a4,as是数字1,2,3,4,5的排列.若不存在1≤i＜j＜k≤5使a;＜a;＜ak成立,则所有这样的排列数有种

答案：
解析'先考虑1,2,3,4四个数字满足条件的排列为14个，然后考虑数字5插入每种类型的情形，如图7−4,满足条件的排列数共42种.

答案'42

例32 (2025.全国高中数学联赛山东赛区初赛)
在3×3的方格棋盘中，一枚棋子占据一个方格,且两
枚棋子不能占据同一方格.小明随机放入5枚棋子，
其中任两枚棋子所在方格不能恰好共用一个方格顶
点的概率为

答案：
解析》如图7−5所示将9个方格分类，一个A类和一
个B类方格不会恰好共用一个顶点.
(可以没有公共顶点，也可以有2个公共顶点)

不难看出棋子至多占据4个A类方格和2个B类方
格.由于有5枚棋子，所以共有2种情况:
(1)若棋子占据3个A类方格和2个B类方格,则有
4×2=8种摆放方式;(3个A类方格:AA2A44,
AA2As,AA4As,A2A4As，共4种摆放方式，2个B类方
格;BB,B2B3，共2种摆放方式)
(2)若棋子占据4个A类方格和1个B类方格,则有
1×4=4种摆放方式.
(只能摆放在AlA2AAs)
因此小明随机放入的5枚棋子中，任两枚棋子所在方
格不能恰好共用一个方格顶点的概率为$\frac{8+4}{C}$=$\frac{2}{21}$.
9
答案7$\frac{2}{21}$

例33)(2023.南京大学强基计划)在1,2,3,4,5
当中,有放回地取数字三次,求最小为2的概率;

答案： 解析》从5个数中有放回地取三次，情况总数为5×
5×5=125.
其中，最小为2的情况分为三类:
有1个2时,情况数为CCC=27,
有2个2时,情况数为CC3=9;
有3个2时，情况数为1.
故最小为2的概率为$\frac{27+9+1}{125}$=$\frac{37}{125}$.

例34)(2025.全国高中数学联赛重庆赛区初赛)
从面积为1的正六边形的6个顶点中随机选3个不同
的点，它们构成的三角形的面积大于$\frac{1}{4}$的概率为.

答案： 解析》设正六边形的6个顶点顺时针依次为A1,A2，
A3,A4,As,A6,易知从中选3个不同的点构成的三角形只有三种不同的形状,分别为△A,A2A3,△A1A2A4,△A1A3As,其面积依次为$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$,而形如△AA2A3 的三角形共有6个，故构成的三角形的面积大于$\frac{1}{4}$的概率为1−$\frac{6}{C3}$=$\frac{7}{10}$.
答案卜$\frac{7}{10}$