《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

5利用正棱锥的底面中心与顶点所在的直线构建空间直角坐标系
例5已知正四棱锥V−ABCD中,E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a,高为h.
(1)求∠DEB的余弦值;
(2)若BE⊥VC,求∠DEB的余弦值.

答案：
解析》
(1)如图6−10,以V在底
面ABCD内的正投影O为坐标原
(O为正方形ABCD的中心)
点建立空间直角坐标系，其中

Ox//BC,Oy//AB.由AB=2a,
OV=h,知B(a,a,0),C(−a,a,
0),D(−a,−a,0),V(0,0,h),
E(−2a​,2a​,2h​).
∴BE=(−23a​,−2a​,2h​),DE=(2a​,23a​,2h​),
∴cos＜BE,DE冫=BEIIDEBE.DE​=10a²+h²−6a²+h²​,
即cos∠DEB=10a²+h²−6a²+h²​.
(2)由
(1)可知VC=(−a,a,−h).
∵BE⊥VC,
∴B.VC=0,即(−23a​,−2a​,2h​).(−a,
a,−h)=0,,
∴23a²​−2a²​−2h²​=0,
∴h=√2a.
此时cos＜BE,DE冫=10a²+h²−6a²+h²​=−31​,
即cos∠DEB=−31​.(《BE，DE)与∠DEB为对顶角)

6利用底面为正方形构建空间直角坐标系
例6 (2025.辽宁省沈阳市质检)已知平行六面体
ABCD−AlB,C,D的底面为正方形,O,O分别为上、
下底面的中心,且A，在底面ABCD上的射影是0.
(1)求证:平面ODC⊥平面ABCD;
(2)若点E,F分别在
棱AA,BC上,且
AE=2EA,问点F在

何处时，EF⊥AD?

答案： 解析'
(1)如图6−
11所示，连接OA,
OB,OA,则易知OA⊥OB,OA⊥平面ABCD.故以O
为坐标原点,OA,OB,OA所在直线分别为x轴、y轴、2
轴建立空间直角坐标系.
设0A=1,0A,=a,则A(1,0,0),B(0,1,0),A,(0,0,
a),C(−1,0,0),D(0,−1,0),0(−1,0,a).
则OD=(1,−1,−a),0,℃=(0,0,−a).
设m=(x1,y1,1)是平面ODC的法向量.
由{mm..00,,Dc==00,,'得{x−1z−1ay!=−0z.!a=0,
令x=1,则m=(1,1,0)为平面0DC的一个法向
量,而平面ABCD的一个法向量为n=OA=(0,0,a),
故m.n=0,即平面ODC与平面ABCD的法向量垂
直,故平面O,DC⊥平面ABCD..
([另解]根据平行六面体的性质，结合A在底面
ABCD上的射影是O，可知O在底面ABCD上的射影
为C，即OC⊥平面ABCD，因为OC在平面ODC
内，所以平面ODC⊥平面ABCD)
(2)由
(1)及AE=2EA,可知E($\frac{1}{3}$,0,$\frac{2a}{3}$),
AD=BC=(−1,−1,0).
设BF=λBC(0≤A≤1),则BF=(−λ,−λ,0),故点F的
坐标为(−λ,1−λ,0),
∴F=($\frac{1}{3}$+λ,A−1,$\frac{2a}{3}$).
由EF⊥AD,得FE.AD=0,
即FE.AD=−$\frac{1}{3}$−λ−λ+1=0,解得λ=$\frac{1}{3}$.
故当F为BC的三等分点(靠近点B)时,有EF⊥AD.