《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例12(新考法物理综合(第二十三届北京高中
数学知识应用竞赛)现在要用天平来测量某个物体的
质量μ,显然,测量值X是随机的.当天平没有系统偏
差时,X的均值满足E(X)=μ.X的标准差$\sqrt{D(X)}$=
σ,反映的是测量误差的大小,即天平的精度.在多次测量的情况下，每次测量是独立的.请回答下述问题:
(1)人们直观地认为:用多次测量的平均值来估计μ要比用一次测量的值好.请你通过数学的定量分析予以证明.
(2)如果天平的精度σ=0.05,那么用天平测量多少次能使估计值的精度达到0.01？

答案：
解析》
(1)假设做了n次独立的测量,测量值分别是X1,X2,...,Xn,这n次测量的值的平均值是X1+X2+...+X
n
利用方差的性质，有D($\frac{X+X2+...+X}{n}$)=
$\frac{D(X+X+...+X)}{n²}$=$\frac{D(X)+D(X)+.+D(X)}{n²}$=
$\frac{no?}{n²}$=$\frac{02}{n}$.
因此$\frac{X+X+...+X}{n}$的标准差是$\sqrt{n}$,'即此时的精度为$\frac{}{n}$显然,n≥2时$\sqrt{n}$＜o.
所以用多次测量的平均值来估计μ要比用一次测量的值好.
(我们不但证明了用多次测量的平均值来估计要比用一次测量的值好，还定量给出了好的程度，即一次测量与n(n≥2)次测量相比,精度由σ变成了$\sqrt{n}$)
(2)由
(1)可知，一次测
量的精度与n(n≥2)次
测量的平均值的精度相
比,由σ提高到了$\sqrt{n}$
于是,当σ=0.05时，
令$\frac{0.05}{\sqrt{n}}$=0.01,得n=25,即用精度为0.05的天平重复测量物体的质量25次，能使估计值的精度达到0.01.

例13(新考法生物综合(新高考全国II卷)−种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一
个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代，
再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖
的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1
个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p;(i=0,1,
2,3).
(1)已知po=0.4,P1=0.3,P2=0.2,P3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的
概率,p是关于x的方程ρo+P1x+P2x²+P3x²=x的
一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当
E(X)＞1时,p＜1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

答案：
解析≥
(1)由题意,P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.3,
P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.1,
∴X的分布列为

x. 0 1 2 3
[P00.4 0.3 0.2 0.1
E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)学审题两头凑思维模型

由X的分布列为P(X=i)=p;(i=0,1,2,
3),得E(X)=P1+2p22+3p3,根据分布列
给什么 性质得Po+P+P2+P3=1,
得什么 又p是关于x的方程Po+Phx+P22x²+
P3x²=x的一个最小正实根,所以x=1是
方程的一个正根.
要证明E(X)的大小与方程的最小正实根
求什么p之间的关系，那就需要去找三次方程
想什么Po+P1x+ρ2x²+P3x²=x在(0,1]上的最
小正根p.
方法一:因为x=1已是方程的一个根，可
通过分解因式，把三次方程的根转化为二
次方程的根，再由二次方程的根的分布，
结合条件E(X)≤1或E(X)＞1,讨论已
差什么 知方程在(0,1]上的最小正实根.
找什么方法二:构造函数f(x)=P3x²+P2x²+
(ρ1−1)x+Po,求f(x)在(0,1]上的零点，
利用导数讨论函数的单调性,结合f
(1)=0
及极值点的范围即可得f(x)的最小正零点.
[方法1＞记f(x)=P3x²+p2x²+(p1−1)x+Po,
由题知,p为∮(x)=0的实根,由Po=1−P−P2−P3,
得∮(x)=P3(x3−1)+P2(x²−1)+p1(x−1)−(x−1)=(x−1)[P3x²+(ps+P2)x+P3+P2+P−1].
记g(x)=P3x²+(p3+P2)x+p3+P2+P−1,
则g
(1)=3p3+2p2+P1−1=E(X)−1,
g
(0)=p3+ρ2+P1−1=−Po＜0.
当E(X)≤1时,g
(1)≤0,
所以当x∈(0,1)时,g(x)=0无实根.
所以∮(x)=0在(0,1]上有且仅有一个实根,即x=1,
所以当E(X)≤1时,p=1.
当E(X)＞1时,g
(1)＞0,又g
(0)＜0,g(x)的图象开口向上，
所以g(x)=0在(0,1)上有唯一实根x'∈(0,1),
所以∮(x)=0的最小正实根p=x'∈(0,1),
所以当E(X)＞1时,ρ＜1.
[方法2＞设∮(x)=P3x²+p2x²+(ρ−1)x+Po,
因为P3+P2+P+Po=1,所以f(x)=P3x²+P2x²2−(P2+Po+P3)x+Po.
若E(X)≤1,则p1+2ρ2+3p3≤1,故p2+2p3≤po.
f'(x)=3p3x²+2p2x−(P2+Po+p3),
因为f'
(0)=−(P2+Po+P3)＜0,f'
(1)=ρ2+2p3−Po≤0,
故f'(x)有两个不同零点x,x2,且x1＜0＜1≤x2,
且当x∈(−∞,x)U(x2,+∞)时,f'(x)＞0;当x∈
(x1,x2)时，f'(x)＜0.
故f(x)在(−∞,x1),(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数，
若x2=1,则∮(x)在(1,+∞)上为增函数且f
(1)=0,
而当x∈(0,1)时,因为f(x)在(x1,1)上为减函数,故
f(x)＞0,
故1为Po+P1x+P2x²2+P3x²=x的一个最小正实根,
所以p=1.
若x2＞1,因为f
(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数，
故1为Po+Px+P2x²+P3x²=x的一个最小正实根,
所以p=1.
综上,若E(X)≤1,则p=1.
若E(X)＞1,则p+2ρ2+3p3＞1,故P2+2p3＞Po−
此时f'
(0)=−(p2+Po+Ps)＜0,f'
(1)=ρ2+2p3−
Po＞0,故f'(x)有两个不同零点分别为x3,x4,
且x3＜0＜x4＜1,
且当x∈(−∞,x3)U(x4,+∞)时,f'(x)＞0;当x∈
(x3,x4)时f'(x)＜0.
故f(x)在(−∞,x3),(x4,+∞)上为增函数,在(x3,
x4)上为减函数,而∮
(1)=0,故∮(x4)＜0,
又f
(0)=Po＞0,故f(x)在(0,x4)存在一个零点p,且
p＜1.所以p为po+P1x+p2x²+ 素养提升POINT
pP3＜x31=,x的一个最小正实根,此时本的能题抽力象，旨符在能合培力养及国分学家析对生
故当E(X)＞1时,p＜1. 高中生数学核,心素
(3)E(X)≤1,表示1个微生物养的总体要求.
个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量无
法维持稳定或正向增长,多代繁殖后将面临灭绝,所
以p=1.
E(X)＞1,表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个
数超过自身个数，种群数量可以正向增长，所以不一
定面临灭绝,所以p＜1.