《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

2. (2025·山东省临沂一中月考)某旅游景区有如图7.1-2所示A~H共8个停车位,现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车,要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列,则不同的停车方法种数为 (B)


A.288
B.336
C.576
D.1 680

答案： 2.B第一步，排白车，第一行选一个位置，有四个位置可选，则第二行有三个位置可选，由于白车是不相同的，故白车的停法有4×3×2=24(种)；
第二步，排黑车，不妨设白车选AF，则黑车可选BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG，共7种选择，由于黑车是不相同的，故黑车的停法有2×7=14(种).
根据分步计数原理，不同的停车方法共有24×14=336(种).

+例8 [教材改编 P64 T10(2)] 若直线方程Ax+By=0中的A,B是从0,1,2,3,5这5个数中任取的2个不同的数,则方程所表示的不同直线共有条.

答案：
解析 ▶ 方法1 (直接法) 本题中有特殊数0,所以以A,B中是否有0为标准进行分类,可分两类.
第一类,当A,B中有一个为0时,表示直线x=0或y=0,共2条不同直线.
第二类,当A,B都不为0时,确定直线Ax+By=0需要分两步完成:
第一步,确定A的值,有4种不同的方法;
第二步,确定B的值,有3种不同的方法.
由分步计数原理知,可以确定的不同直线有4×3=12(条).
综上,由分类计数原理知,方程所表示的不同直线共有2+12=14(条).
方法2 (间接法) 分两步:
第一步,确定A的值,有5种不同的方法;
第二步,确定B的值,有4种不同的方法.
由分步计数原理知,可以确定的直线有5×4=20(条).
在这20条直线中,当A=0,B=1,2,3,5时,表示同一条直线(直线y=0);
因此有2条直线均被多计算3次,故符合条件的不同直线共有20−2×3=14(条).
答案 ▶ 14

3. [教材改编 P94 T2] 设a,b∈{1,2,3,4,6,9},则以a为底数,b为真数的不同对数值共有18个.

答案： 3.18先不考虑对底数的限制及对数值是否相同，现对a，b的取值分两步.
第一步：取底数a，有6种取法.
第二步：取真数b，有6种取法.
根据分步计数原理，有6×6=36种不同的取法.
在这36种不同的取法中，由于1不能作底数，即a≠1，此时有6种取法需排除；而当a≠1，b=1时，$\log_{a}b=1$，此时有5种取法取得的对数值相同；当a=b≠1时，$\log_{a}b=1$，有5种取法取得的对数值相同；且$\log_{2}3=\log_{4}9$，$\log_{3}2=\log_{9}4$，$\log_{2}4=\log_{3}9$，$\log_{4}2=\log_{9}3$.
（易忽略相等的对数值，导致重复计数）
故以a为底数，b为真数的不同对数值共有36-6-(5-1)-(5-1)-4=18(个).

+例9 [新情境 十二生肖] (2025·陕西省咸阳市三原县南郊中学期中)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种生肖(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种. 现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学每个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有 ()

A.30种
B.50种
C.60种
D.90种

答案： 解析 ▶ 分两类:
①甲选择牛,乙有2种选择,丙有10种选择,则选法种数为2×10=20;
②甲选择马,乙有3种选择,丙有10种选择,则选法种数为3×10=30.
根据分类计数原理,选法种数为20+30=50.
答案 ▶ B