《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例 17 (2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 解析▶四个人排成一列，有$A_{4}^{4}$种排法，
甲或乙在排尾，则选一人到排尾，有2种排法，丙不在排头，则在中间的两个位置中任选一个，有2种排法，剩下两人有两个位置全排列，有$A_{2}^{2}$种排法，
故所求概率为$\frac{2× 2× A_{2}^{2}}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{3}$。
答案▶B

例 18 (全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 ()

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 解析▶方法1 将4个1和2个0视为完全不同的元素，则将4个1和2个0随机排成一行，有$A_{6}^{6}$种排法，将4个1排成一行有$A_{4}^{4}$种排法，再将2个0插空，有$A_{5}^{2}$种排法，所以2个0不相邻的概率为$\frac{A_{4}^{4}A_{5}^{2}}{A_{6}^{6}}=\frac{2}{3}$。
方法2 将4个1和2个0视为完全不同的元素，则将4个1和2个0随机排成一行，有$A_{6}^{6}$种排法，其中2个0相邻的排法为$A_{2}^{2}A_{5}^{5}$种，则2个0不相邻的概率为$1-\frac{A_{2}^{2}A_{5}^{5}}{A_{6}^{6}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
答案▶C

1.[多选题]由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有 (BCD)

A.$(A_{9}^{1})^{2}A_{8}^{3}$
B.$A_{9}^{4}+(A_{8}^{1})^{2}A_{8}^{3}$
C.$A_{10}^{5}-2A_{9}^{4}+A_{8}^{3}$
D.$A_{9}^{4}+A_{3}^{1}A_{8}^{1}A_{8}^{3}+A_{8}^{1}A_{8}^{4}$

答案： 1.BCD 10个数字选出5个数字排列总共有$A_{10}^{5}$种，1在个位或0在万位的共有$2A_{9}^{4}$种，0在万位且1在个位的有$A_{8}^{3}$种，于是满足题意的共有$(A_{10}^{5}-2A_{9}^{4}+A_{8}^{3})$种，故C正确.若有1，
(1)若1在万位，共有$A_{9}^{4}$种，
(2)若1在十、百、千位，共有$A_{3}^{1}A_{8}^{1}A_{8}^{3}$种，若没有1，万位有$A_{8}^{1}$种，剩下的四位有$A_{8}^{4}$种，共有$A_{8}^{1}A_{8}^{4}$种，故有$(A_{9}^{4}+A_{3}^{1}A_{8}^{1}A_{8}^{3}+A_{8}^{1}A_{8}^{4})$种，故D正确.若1在万位，有$A_{9}^{4}$种；若1不在万位，则万位有$A_{8}^{1}$种，个位有$A_{8}^{1}$种，剩下的三位有$A_{8}^{3}$种，故共有$(A_{9}^{4}+(A_{8}^{1})^{2}A_{8}^{3})$种，故B正确.因为B,C,D选项的计算结果都为$73A_{8}^{3}$，A选项$(A_{9}^{2})^{2}A_{8}^{3}=81A_{8}^{3}$，故A选项错误.

2.[多选题](2025·江苏省连云港市月考)下列关于甲、乙、丙、丁、戊五个身高互不相同的人的排列方法，正确的有 (AD)

A.甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有24种
B.甲、乙、丙互不相邻的站法共有72种
C.甲、乙、丙顺序固定，丁、戊相邻的站法有6种
D.甲不在排头的站法有96种

答案： 2.AD 对于A，由于甲、乙两人相邻，丙、丁两人相邻，则甲、乙两人绑在一起，有2种排列方法，同理，丙、丁也有2种方法.捆绑之后可以看作3项，排列方法有$A_{3}^{3}$种，则最终的结果有$A_{3}^{3}×2×2 = 24$（种），故A选顶正确；对于B，由于甲、乙、丙互不相邻，先将3人排列，有$A_{3}^{3}$种方法，再插空，有2个空，则有$A_{2}^{2}$种排列方法，最终结果有$A_{3}^{3}A_{2}^{2}=12$（种），故B选项错误；对于C，甲、乙、丙顺序固定，则有1种站法，这时形成4个空，将丁、戊捆绑，插入这4个空中，有4种插法，而丁、戊内部有$A_{2}^{2}$种站法，则最终结果有$4× A_{2}^{2}=8$（种），故C选项错误；对于D，因为甲不在排头，则假设甲在排头，故有$A_{4}^{4}$种排法，故甲不在排头的站法有$A_{5}^{5}-A_{4}^{4}=96$（种），故D选项正确.