《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例2-3 如图6.3-9，在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线$AB$的方向向量有个；
(2)平面$AA_{1}B_{1}B$的法向量有个.

答案： 解析
(1)直线$AB$的方向向量有：$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{B_{1}A_{1}}$，$\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$，$\overrightarrow{C_{1}D_{1}}$，$\overrightarrow{D_{1}C_{1}}$，共8个.
(2)平面$AA_{1}B_{1}B$的法向量有：$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{D_{1}A_{1}}$，$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}$，$\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$，$\overrightarrow{B_{1}C_{1}}$，共8个.
答案
(1)8
(2)8

例2-4 [教材改编 P31 T3]如图6.3-10，在边长为2的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$P$是$DD_{1}$的中点，$O$为底面$ABCD$的中心.
(1)求平面$PAC$的一个法向量；
(2)求证：$\overrightarrow{OB_{1}}$是平面$PAC$的一个法向量.

答案： 解析
(1)易知$A(2,0,0)$，$P(0,0,1)$，$C(0,2,0)$，则$\overrightarrow{AP}=(-2,0,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$，
设平面$PAC$的一个法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{AP}$，$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{AC}$，从而$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{n}·\overrightarrow{AP}=0,\\ \boldsymbol{n}·\overrightarrow{AC}=0,\end{array}\right. $
即$\left\{\begin{array}{l} -2× x+0× y+1× z=0,\\ -2× x+2× y+0× z=0,\end{array}\right. $
不妨令$x=2$，则$y=2$，$z=4$.
（若令$x=1$，则$\boldsymbol{n}=(1,1,2)=\overrightarrow{OB_{1}}$，显然用待定系数法求出的平面法向量不唯一）
故$\boldsymbol{n}=(2,2,4)$就是平面$PAC$的一个法向量.
(2)易知$O(1,1,0)$，$B_{1}(2,2,2)$，则$\overrightarrow{OB_{1}}=(1,1,2)$，所以$\overrightarrow{OB_{1}}·\overrightarrow{AP}=0$，$\overrightarrow{OB_{1}}·\overrightarrow{AC}=0$，所以$\overrightarrow{OB_{1}}\perp\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OB_{1}}\perp\overrightarrow{AP}$，
又$AC\cap AP=A$，所以$OB_{1}\perp$平面$PAC$，
故$\overrightarrow{OB_{1}}$是平面$PAC$的一个法向量.
（【另解】在第
(1)问的基础上可以由共线向量基本定理证明，即$\boldsymbol{n}=2\overrightarrow{OB_{1}}$）