《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例 13 新情境 洛书 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上的图如图7.2-2(1)所示：“以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数。”这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图7.2-2(2)所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数。则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是 ()

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{72}$
D.$\frac{1}{144}$

答案：
解析▶先排左上角的数字，可以从2,4,6,8中选一数，有4种排法，如果固定了左上角的偶数，如图7.2-3，假设是2，则有两种排法，当四个角的数字固定之后，其他空位的数字随其固定，所以共有$4× 2=8$种排法满足题意。

要求所有的结果，可以先排四个角上的偶数，有$A_{4}^{4}$种结果，再排其他四个空位，有$A_{4}^{4}$种结果，共有$A_{4}^{4}A_{4}^{4}=24× 24=576$种结果。
由古典概型的概率公式得所求概率$P=\frac{8}{A_{4}^{4}· A_{4}^{4}}=\frac{8}{576}=\frac{1}{72}$。
答案▶C

例 14 (2025·上海)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为。

答案： 解析▶先选两位家长排在首尾有$A_{4}^{2}=12$种排法，再排中间的4人有$A_{4}^{4}=24$种排法，故有$12× 24=288$种不同的排法。
答案▶288

例 15 (2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 ()

A.120种
B.60种
C.30种
D.20种

答案： 解析▶先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有$A_{5}^{1}$种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有$A_{4}^{2}$种安排方式。
所以不同的安排方式共有$A_{5}^{1}· A_{4}^{2}=60$(种)。
答案▶B

例 16 (2022·新高考全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 ()

A.12种
B.24种
C.36种
D.48种

答案： 解析▶先将丙和丁捆在一起有$A_{2}^{2}$种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有$A_{3}^{3}$种排列方式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有$A_{2}^{2}A_{3}^{3}× 2=24$(种)。
答案▶B