《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例1-1 [教材改编 P20 T5] 正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，$O_1, O_2, O_3$ 分别是 $AC, AB', AD'$ 的中点，以 $\{\overrightarrow{AO_1}, \overrightarrow{AO_2}, \overrightarrow{AO_3}\}$ 为基底，$\overrightarrow{AC'} = x\overrightarrow{AO_1} + y\overrightarrow{AO_2} + z\overrightarrow{AO_3}$，则 $x, y, z$ 的值分别是

答案： 解析
∵如图6.2-2所示，$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) = \overrightarrow{AO_1} + \overrightarrow{AO_2} + \overrightarrow{AO_3}$，
且 $\overrightarrow{AC'} = x\overrightarrow{AO_1} + y\overrightarrow{AO_2} + z\overrightarrow{AO_3}$，
$\therefore x = y = z = 1$.
答案 ▶ $1,1,1$
点评 ▶ 根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则与正方体的性质，用基底表示出 $\overrightarrow{AC'}$，利用空间向量基本定理可得 $x, y, z$ 的值.