《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例9 在一块耕地上种植一种作物, 每季种植成本为1000元, 此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性, 且互不影响, 其具体情况如下下面两个表所示.

(1) 设X表示在这块地上种植1季此作物的利润 (单位: 元), 求X的概率分布列 (利润=产量×市场价格-成本);
(2) 若在这块地上连续3季种植此作物, 求这3季中的利润都在区间(1200,1600)内的概率.

答案：
解析
(1) 设A表示事件“作物产量为400kg”, B表示事件“作物市场价格为5元/kg”,
由题设知, $P(A)=0.6, P(\bar{A})=0.4, P(B)=0.5, P(\bar{B})=0.5$.
∵ 利润=产量×市场价格-成本,
∴ X的所有可能取值为
$400 × 5 - 1000 = 1000, 400 × 6 - 1000 = 1400$,
$500 × 5 - 1000 = 1500, 500 × 6 - 1000 = 2000$.
$P(X=1000)=P(A)P(B)=0.6 × 0.5 = 0.3$,
$P(X=1400)=P(A)P(\bar{B})=0.6 × 0.5 = 0.3$,
$P(X=1500)=P(\bar{A})P(B)=0.4 × 0.5 = 0.2$,
$P(X=2000)=P(\bar{A})P(\bar{B})=0.4 × 0.5 = 0.2$.
∴ X的概率分布列为

(2) 由
(1)得, 每一季利润在区间(1200,1600)内的概率为$0.3+0.2=0.5$,
故这3季中的利润都在区间(1200,1600)内的概率为$0.5^3=0.125$.

2. 将3个不同的小球任意放入4个不同的大玻璃杯中, 杯子中球的最多个数记为X, 求X的分布列.

答案： 2.由题意知$X = 1,2,3.P(X = 1)=\frac{A_{4}^{3}}{4^{3}} = \frac{3}{8}$；$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{4}^{1}C_{3}^{1}}{4^{3}} = \frac{9}{16}$；$P(X = 3)=\frac{C_{4}^{1}}{4^{3}} = \frac{1}{16}$.
$\therefore X$的分布列为

$X$	1	2	3
$P$	$\frac{3}{8}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{1}{16}$

3. (2025·河北省张家口市期中) 同学甲进行一种闯关游戏, 该游戏共设两个关卡, 闯关规则如下: 每个关卡前需先投掷一枚硬币, 若正面朝上, 则顺利进入闯关界面, 可以开始闯关游戏; 若反面朝上, 游戏直接终止. 甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为$\frac{2}{3}$, 且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行.
(1) 求同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率;
(2) 设同学甲成功通过关卡的个数为ξ, 求ξ的分布列.

答案： 3.
(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率$P = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} ×\frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{1}{9}$.
(2)$\xi$的取值为0,1,2,
$P(\xi = 0)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{11}{18}$，
$P(\xi = 1)=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × 2 = \frac{5}{18}$，
$P(\xi = 2)=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{1}{9}$，
所以同学甲成功通过关卡的个数$\xi$的分布列为

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{11}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$

例10 (2025·福建省连城县第一中学月考) 设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y=X-2, 则P(Y=2)等于 ()

A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7

答案： 解析 由离散型随机变量X的分布列得
$0.1+0.1+0.2+0.3+m=1$, 解得$m=0.3$,
∵ 随机变量Y=X-2,
∴ $P(Y=2)=P(X=4)=0.3$.
答案 A