《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例 5 (1)[教材改编 P72 T3]计算：$\frac{A_{9}^{5}+A_{9}^{4}}{A_{10}^{6}-A_{10}^{5}}$；
(2)化简：$1!+2· 2!+3· 3!+·s +n· n!$；
(3)解方程：$3A_{8}^{x}=4A_{9}^{x-1}$；
(4)(2025·陕西省咸阳市实验中学质检)解不等式：$A_{9}^{x}＞6A_{9}^{x-2}$。

答案： 解析▶
(1)方法1 $\frac{A_{9}^{5}+A_{9}^{4}}{A_{10}^{6}-A_{10}^{5}}=$
$\frac{9× 8× 7× 6× 5+9× 8× 7× 6}{10× 9× 8× 7× 6× 5-10× 9× 8× 7× 6}=$
$\frac{(5+1)× 9× 8× 7× 6}{(5-1)× 10× 9× 8× 7× 6}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}$。
方法2 $\frac{A_{9}^{5}+A_{9}^{4}}{A_{10}^{6}-A_{10}^{5}}=\frac{5A_{9}^{4}+A_{9}^{4}}{50A_{9}^{4}-10A_{9}^{4}}=\frac{6A_{9}^{4}}{40A_{9}^{4}}=\frac{3}{20}$（巧用$A_{n}^{m}=nA_{n-1}^{m-1}$，其中$A_{10}^{6}=10A_{9}^{5}=50A_{9}^{4}$，$A_{10}^{5}=10A_{9}^{4}$）
方法3 $\frac{A_{9}^{5}+A_{9}^{4}}{A_{10}^{6}-A_{10}^{5}}=\frac{\frac{9!}{4!}+\frac{9!}{5!}}{\frac{10!}{4!}-\frac{10!}{5!}}=\frac{5× 9!+9!}{5× 10!-10!}=\frac{6× 9!}{4× 10!}=$
$\frac{3}{20}$。（巧用$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}$）
(2)$\because n· n!=[(n+1)-1]· n!=(n+1)!-n!$，
$\therefore$原式$=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+·s +$
$[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1$。
(3)由$3A_{8}^{x}=4A_{9}^{x-1}$，得$\frac{3× 8!}{(8-x)!}=\frac{4× 9!}{(10-x)!}$，
（排列数的上标未知时，用阶乘的形式解题比较好）
即$\frac{3× 8!}{(8-x)!}=\frac{4× 9× 8!}{(10-x)(9-x)(8-x)!}$，
化简得$x^{2}-19x+78=0$，解得$x=6$或$x=13$（舍去）。
$\therefore$原方程的解为$x=6$。
(4)原不等式可化为$\frac{9!}{(9-x)!}＞\frac{6× 9!}{(9-x+2)!}$，
即$x^{2}-21x+104＞0$，整理得$(x-8)(x-13)＞0$，
$\therefore x＜8$或$x＞13$。
又$\left\{\begin{array}{l} x\leqslant 9,x\in \mathbf{N}^{*},\\ x-2\leqslant 9,x-2\in \mathbf{N}^{*},\end{array}\right.$
解得$x=3,4,5,6,7$。

1.[多选题](2025·安徽省A10联盟期中)下列等式正确的是 （AC）

A.$(n+1)A_{n}^{m}=A_{n+1}^{m+1}$
B.$A_{n}^{m+1}=\frac{n!}{(n-m-1)!}$
C.$\frac{n!}{n(n-1)}=(n-2)!$
D.$\frac{1}{n-m}A_{n}^{m+1}=A_{n}^{m}$

答案： 1.AC 对于A，$(n+1)A_{n}^{m}=(n+1)\frac{n!}{(n - m)!}=\frac{(n+1)!}{(n+1 - m - 1)!}=A_{n + 1}^{m + 1},A$正确；
对于B，排列数形式有误，B错误；
对于C，$\frac{n!}{n(n - 1)}=\frac{n(n - 1)(n - 2)!}{n(n - 1)}=(n - 2)!$，C正确；
对于D，$\frac{1}{n - m}A_{n}^{m + 1}=\frac{1}{n - m}·\frac{n!}{(n - m - 1)!}=A_{n}^{m}$，D错误.

例 6 (1)10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有不同坐法的种数为 ()
A.6
B.$A_{10}^{6}$
C.$10^{6}$
D.$6^{10}$
(2)把15人分成前、中、后三排，每排5人，则不同的排法种数为 ()
A.$\frac{A_{15}^{15}}{A_{3}^{3}}$
B.$A_{15}^{5}· A_{10}^{5}· A_{5}^{5}· A_{3}^{3}$
C.$A_{15}^{15}$
D.$A_{15}^{5}· A_{10}^{5}$

答案： 解析▶
(1)坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置，显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题，从而不同的坐法种数为$A_{10}^{6}$。
(2)方法1 15个人分成前、中、后三排，每排5人，分3步完成，不同的排法种数为$A_{15}^{5}· A_{10}^{5}· A_{5}^{5}=15!=A_{15}^{15}$。
方法2 此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将15人排成一排的问题，故共有$A_{15}^{15}$种不同排法。
答案▶
(1)B
(2)C