《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

+例12 [新情境 阳马]《九章算术》中,称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设AA₁是正六棱柱的一条侧棱,如图7.1-10,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA₁为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 ()
A.4
B.8
C.12
D.16

答案：

解析 ▶ 如图7.1-11,在正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁中,
连接AC,A₁C₁,AE,A₁E₁,AC⊥平面AA₁F₁F,AE⊥平面AA₁B₁B,AF⊥平面AA₁C₁C,AB⊥平面AA₁E₁
E.取矩形AA₁F₁F为阳马的底面,则阳马的另一个顶点可以为C,D,C₁,D₁;
取矩形AA₁B₁B为阳马的底面,则阳马的另一个顶点可以为D,E,D₁,E₁;
取矩形AA₁C₁C为阳马的底面,则阳马的另一个顶点可以为D,F,D₁,F₁;
取矩形AA₁E₁E为阳马的底面,则阳马的另一个顶点可以为B,D,B₁,D₁.
所以阳马的个数是16.
答案 ▶ D

+例13 (2024·新课标Ⅱ卷)在如图7.1-12的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.

答案： 解析 ▶ 第一步,从第一行任选一个数,共有4种不同的选法;
第二步,从第二行选一个与第一个数不同列的数,共有3种不同的选法;
第三步,从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数,共有2种不同的选法;
第四步,从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数,只有1种选法.
由分步计数原理知,不同的选法种数为4×3×2×1=24.
先按列分析,每列必选出一个数,故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.
再按行分析,第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,5,故从第一行选21,从第二行选33,从第三行选43,从第4行选15,此时个位上的数字之和最大.
故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112.
答案 ▶ 24 112